Girard Desargues

Girard Desargues (1591–1661) war ein französischer Architekt, Ingenieur und Mathematiker aus Lyon. Er untersuchte, was geometrisch passiert, wenn man einen Gegenstand perspektivisch abbildet, so wie ein Maler es tut. Daraus entstand die projektive Geometrie, eine Geometrie, in der Parallelen sich in einem „unendlich fernen Punkt“ treffen und alle Kegelschnitte (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) zusammengehören.

Nach ihm ist der Satz von Desargues benannt, eine Aussage über zwei Dreiecke. Zu Lebzeiten verstanden nur wenige, was er wollte, denn er schrieb in der Sprache der Handwerker und gab seine Werke in winzigen Auflagen heraus. Erst im 19. Jahrhundert griff man seine Ideen wieder auf. Mit Blaise Pascal gehört er zu den ersten, die geometrische Figuren als Projektionen auffassten.

Leben in Lyon und Paris

Desargues stammte aus einer angesehenen Lyoner Juristenfamilie. Sein Vater war königlicher Notar. Er selbst ist 1621 als Seidenhändler in Lyon belegt, reiste 1626 nach Flandern und bemühte sich in Paris um ein Patent für Brunnenbauten. Um 1630 zog er nach Paris. Dort gehörte er zum Kreis von Marin Mersenne, in dem sich Gelehrte wie René Descartes, Pierre Gassendi und die Familie Pascal trafen.

Sein Wissen gab Desargues nicht in Universitäten, sondern an Handwerker weiter. Ab etwa 1639 unterrichtete er Steinmetze, Zimmerleute und Kupferstecher in einer privaten Schule. Einer seiner Schüler, der Kupferstecher Abraham Bosse, wurde sein wichtigster Fürsprecher. Doch Maler und Architekten hielten Desargues’ abstrakte Methode oft für überflüssig. Gegner wie Jean de Beaugrand und Jacques Curabelle griffen ihn heftig an. 1648 ging er nach Lyon zurück, auch wegen der Unruhen der Fronde. Als Architekt plante er Bauten in Lyon und Paris, und er entwarf eine Wasserpumpe mit Zahnrädern, deren Zahnform auf Epizykloiden beruhte. Desargues starb im Herbst 1661 in Lyon.

Perspektive als Mathematik

Wer ein Haus perspektivisch zeichnet, stellt sich die Leinwand als Glasscheibe zwischen Auge und Haus vor. Jeder Punkt des Hauses wird längs des Sehstrahls, der geraden Linie vom Auge zum Punkt, auf die Scheibe übertragen. Dabei geschieht Seltsames: Parallele Kanten, etwa Eisenbahnschienen, laufen im Bild auf einen Fluchtpunkt zu. Die Maler kannten das seit der Renaissance als Regel. Desargues fragte nach dem Grund. In seiner Schrift von 1636 zeigte er eine allgemeine Methode, perspektivische Bilder zu konstruieren, ohne einen zusätzlichen „dritten Punkt“ (Distanzpunkt) zu brauchen.

Sein Gedanke: Man darf den Fluchtpunkt als einen echten Punkt ansehen, nämlich als das Bild eines Punktes, der „im Unendlichen“ liegt. Parallele Geraden schneiden sich dann in einem solchen unendlich fernen Punkt, und zwei beliebige Geraden einer Ebene haben immer einen Schnittpunkt. Das vereinfacht viele Sätze, denn Sonderfälle wie „es sei denn, die Geraden sind parallel“ entfallen. Auch Kepler hatte schon Punkte im Unendlichen betrachtet, doch Desargues baute eine ganze Methode darauf.

Der Satz von Desargues

Der berühmteste Satz handelt von zwei Dreiecken ABC und A′B′C′. Sie liegen perspektivisch zu einem Punkt O, wenn die Geraden durch entsprechende Ecken (AA′, BB′ und CC′) sich in O schneiden. Man kann sich vorstellen, O sei eine Lampe, und das zweite Dreieck sei der Schatten des ersten. Der Satz sagt: Verlängert man dann die einander entsprechenden Seiten, so schneiden sich AB und A′B′ in einem Punkt P, BC und B′C′ in Q und CA und C′A′ in R. Und diese drei Punkte liegen immer auf einer Geraden. Auch die Umkehrung gilt.

Der Satz steht nicht in Desargues’ eigenen Schriften. Als erster veröffentlichte ihn 1648 Abraham Bosse in einem Buch über Perspektive. In der Ebene lässt er sich nicht aus den übrigen Grundannahmen der Geometrie ableiten, wie David Hilbert um 1900 zeigte. Im Raum folgt er dagegen aus ihnen. Geometrien, in denen er falsch ist, nennt man nicht-desarguesch.

Kegelschnitte als Schatten

1639 erschien Desargues’ Brouillon project („Entwurf eines Versuchs über die Ergebnisse, wenn ein Kegel von einer Ebene geschnitten wird“). Darin behandelte er Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel gemeinsam, denn sie sind alle Schnitte eines Kegels mit einer Ebene. Man kann sie auch als Schatten eines Kreises betrachten: Eine Lampe wirft den Schatten einer Kreisscheibe an die Wand, und je nach Neigung entsteht ein Kreis, eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel. Die klassischen Kegelschnitte des Apollonios fasste Desargues damit unter einer Idee zusammen. Außerdem fand er Sätze über Punktepaare, die bei Projektionen erhalten bleiben (Involution).

Das Heft war nur 30 Seiten dünn, in einer Handwerkersprache geschrieben und kaum verständlich. Es erschien in kleiner Auflage. Der erst 16-jährige Blaise Pascal griff seine Ideen auf und nannte Desargues 1640 in seinem Essai pour les coniques den eigentlichen Erfinder eines Satzes über Kegelschnitte, den wir heute Satz von Pascal nennen. Fermat und Descartes schätzten Desargues’ frühe Schriften, doch das Brouillon project fand kaum Leser.

Zeitleiste: Girard Desargues

1. 1591 Geburt in Lyon am 21. Februar
2. 1621 als Seidenhändler in Lyon belegt
3. um 1630 Umzug nach Paris, Kreis um Mersenne
4. 1636 Schrift über Perspektive
5. 1639 Brouillon project über Kegelschnitte, Beginn des Unterrichts für Handwerker
6. 1640 Pascals Essai pour les coniques würdigt Desargues
7. 1648 Rückkehr nach Lyon, Bosse veröffentlicht den Satz von Desargues
8. 1661 Tod in Lyon
9. 1845 Michel Chasles findet eine Abschrift des Brouillon project
10. 1951 René Taton entdeckt ein Exemplar des Originaldrucks

Bedeutung und Nachwirkung

Die projektive Geometrie geriet nach Desargues und Pascal in Vergessenheit. Vom Brouillon project kannte man lange nur eine handschriftliche Abschrift des Astronomen Philippe de la Hire, die der Mathematiker Michel Chasles 1845 wiederfand. Ein Exemplar des Originaldrucks entdeckte erst 1951 René Taton. Im frühen 19. Jahrhundert belebten Gaspard Monge und sein Schüler Jean-Victor Poncelet das Gebiet neu, und Chasles und andere bauten es zur eigenen Disziplin aus (siehe Mathematik des 19. Jahrhunderts).

Heute steckt Desargues’ Denkweise in der Computergrafik. Wenn ein Computerspiel oder ein Film dreidimensionale Szenen auf den Bildschirm bringt, rechnet der Rechner perspektivische Projektionen aus, meist mit Matrizen und „homogenen Koordinaten“, die Punkte im Unendlichen mit einschließen. Auch Fotogrammetrie und das Vermessen aus Luftbildern beruhen auf projektiver Geometrie. Ein Mondkrater und der Asteroid (227151) Desargues erinnern an ihn. Mehr zur Geometrie gibt es auf der Lernseite.

Quellen und weiterführende Literatur

• J. V. Field, J. J. Gray: The Geometrical Work of Girard Desargues, Springer, New York 1987.
• René Taton: L’œuvre mathématique de G. Desargues, Presses Universitaires de France, Paris 1951.
• Kirsti Andersen: The Geometry of an Art. The History of the Mathematical Theory of Perspective from Alberti to Monge, Springer, New York 2007.
• MacTutor History of Mathematics: Girard Desargues (englisch)
• Wikipedia: Gérard Desargues