Ibn al-Haitham

Ibn al-Haitham (um 965–um 1040), im lateinischen Westen Alhazen genannt, war ein arabischer Gelehrter aus Basra, der später in Kairo arbeitete. Sein siebenbändiges Buch der Optik (Kitab al-Manazir) wurde zu einem Standardwerk über das Licht bis zu Kepler. Darin erklärt er das Sehen auf neue Weise und stützt seine Aussagen auf Versuche. Daneben war er ein Mathematiker von hohem Rang: Er beschäftigte sich mit Aufgaben der Geometrie, mit Summen von Potenzen und mit Rauminhalten gekrümmter Körper.

Nach ihm ist das Alhazensche Problem benannt, eine Aufgabe über Spiegelungen, die Mathematiker bis in die Neuzeit beschäftigte. Er gehört zu den großen Namen der Mathematik der islamischen Welt, und viele seiner Ideen wirkten über lateinische Übersetzungen auf Roger Bacon und Johannes Kepler.

Leben: von Basra nach Kairo

Ibn al-Haitham, mit vollem Namen Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haitham, wuchs in Basra auf und arbeitete dort in der Verwaltung, vermutlich als Minister (Wesir). Nach eigener Aussage fand er die miteinander streitenden religiösen Lehren seiner Zeit unbefriedigend und widmete sich ganz der Wissenschaft, vor allem den Schriften des Aristoteles. In Kairo lebte er unter den Fatimiden-Kalifen, wo er bis zu seinem Tod zurückgezogen schrieb und lehrte. Er verdiente Geld mit dem Abschreiben mathematischer Bücher, darunter die Elemente des Euklid.

Das Buch der Optik: Wie wir sehen

Bis zu Ibn al-Haitham glaubten viele Gelehrte, darunter Euklid und Ptolemäus, dass vom Auge Sehstrahlen ausgehen und die Dinge abtasten. Andere meinten wie Aristoteles, das Licht gelange über ein Medium von den Dingen zum Auge. Ibn al-Haitham argumentierte mit Beobachtungen: Warum blendet uns die Sonne, wenn wir hinschauen? Warum bleiben Nachbilder im Auge, wenn wir lange in eine Lampe geblickt haben? Beides lässt sich nur erklären, wenn Licht ins Auge hineinfällt. Jeder Punkt eines leuchtenden oder beleuchteten Gegenstands sendet Strahlen in alle Richtungen aus, und ein Teil davon trifft das Auge.

Er untersuchte, wie Licht von Spiegeln zurückgeworfen wird, und formulierte das Reflexionsgesetz vollständig. Dazu baute er ein Messgerät aus Kupfer für ebene, kugelförmige und zylindrische Spiegel. Im siebten Buch behandelt er die Brechung des Lichts, also den Knick, den ein Strahl beim Übergang von Luft in Wasser oder Glas erfährt. Er ging davon aus, dass Licht in dichteren Stoffen langsamer läuft. Außerdem erklärte er die Dämmerung durch Brechung in der Atmosphäre: Sie endet, wenn die Sonne etwa 19 Grad unter dem Horizont steht. Zudem beschrieb er die Lochkamera (Camera obscura) und nutzte sie für Versuche.

Das Werk wurde um 1200 ins Lateinische übersetzt (De aspectibus) und 1572 von Friedrich Risner in Basel als Opticae thesaurus gedruckt. Es prägte Roger Bacon, Witelo und Kepler.

Alhazens Problem: Billard im Kreis

Im fünften Buch stellt Ibn al-Haitham eine Aufgabe, die so einfach klingt und doch so schwer ist: Ein Spiegel hat die Form einer Kugel. Wo muss ein Lichtstrahl auftreffen, der von einem Punkt A kommt, damit er zum Auge in B zurückgeworfen wird? Auf einem flachen Schnitt durch die Kugel ist das ein Billardproblem im Kreis: Ein Ball soll von A über die Bande, den Rand des runden Tisches, nach B rollen. Beim Aufprall gilt das Reflexionsgesetz, Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel.

Gesucht ist der Punkt P auf dem Rand. Rechnerisch führt die Aufgabe auf eine Gleichung vierten Grades. Für die Lage der Punkte A und B in der Zeichnung gibt es sogar vier mögliche Punkte P. Ibn al-Haitham löste das Problem geometrisch mit sechs Hilfssätzen: Der gesuchte Punkt liegt im Schnitt des Kreises mit einer Hyperbel, einem Kegelschnitt, den schon Apollonios untersucht hatte. Dieselbe Idee verwendete später Omar Chayyam für Gleichungen dritten Grades. Der niederländische Physiker Christiaan Huygens empfand die Lösung später als zu kompliziert und suchte eine einfachere. Dass sich die Aufgabe nicht mit Zirkel und Lineal allein lösen lässt, wurde erst im 20. Jahrhundert bewiesen, zuletzt ausführlich durch Peter Neumann 1998.

Die Summe vierter Potenzen

Um den Rauminhalt von Körpern zu berechnen, die durch Drehung einer Parabel entstehen, brauchte Ibn al-Haitham die Summe der vierten Potenzen 1⁴ + 2⁴ + … + n⁴. Er fand für sie eine Regel, die sich auf die Summen niedrigerer Potenzen zurückführen lässt. In heutiger Schreibweise gilt:

Das Ergebnis nutzte er für den Rauminhalt eines Körpers, der entsteht, wenn man ein Parabelsegment um seine Grundlinie dreht: Er beträgt 8/15 des umschließenden Zylinders. Die Rechnung nimmt Gedanken der Integralrechnung in der Analysis vorweg, auch wenn die Begriffe damals andere waren.

Zahlentheorie und die Kunst des Lösens

In der Zahlentheorie untersuchte Ibn al-Haitham Aufgaben mit Resten. Eine davon fragt nach einer Zahl, die bei Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 den Rest 1 lässt und durch 7 teilbar ist. Er gibt zwei Methoden an. Nach der einen multipliziert er die Teiler, 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720, und addiert 1. Das ergibt 721, und das ist durch 7 teilbar. Das ist kein Zufall: 720 ist die Fakultät 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6, und für jede Primzahl p ist (p − 1)! + 1 durch p teilbar. Das heißt heute Satz von Wilson. Ob Ibn al-Haitham diesen Satz selbst bewiesen hatte, wird diskutiert.

Daneben schrieb er über die Quadratur des Kreises mit Möndchen, über vollkommene Zahlen und über die Methode von Analyse und Synthese, die schon Ibrahim ibn Sinan untersucht hatte. Er kritisierte außerdem Ptolemäus in einem Buch mit dem Titel Zweifel an Ptolemäus.

Zeitleiste

1. um 965 Geburt in Basra.
2. 1021 Tod des Kalifen al-Hakim; um diese Zeit ist das Buch der Optik fertig.
3. 1027 Er schreibt eine Autobiografie.
4. um 1040 Tod in Kairo.
5. um 1200 Lateinische Übersetzung der Optik (De aspectibus).
6. 1572 Friedrich Risner druckt die Optik in Basel als Opticae thesaurus.
7. 1998 Peter Neumann zeigt, wie sich Alhazens Problem algebraisch vollständig behandeln lässt.

Was von Ibn al-Haitham bleibt

Ibn al-Haitham zeigte, wie man Theorien mit Versuchen prüft, und ist deshalb ein Vorbild für die moderne Naturwissenschaft. Der Titel „Vater der modernen Wissenschaft“ vereinfacht allerdings, denn auch andere Gelehrte seiner Zeit arbeiteten mit Beobachtung und Experiment. Ein Mondkrater und ein Asteroid tragen seinen Namen, und auf dem 10.000-Dinar-Schein des Irak ist ein erfundenes Bildnis von ihm abgebildet.

Quellen und weiterführende Literatur

• A. I. Sabra: The Optics of Ibn al-Haytham. Books I–III: On Direct Vision, Warburg Institute, London 1989.
• Roshdi Rashed: Ibn al-Haytham and Analytical Mathematics, Routledge, London 2013.
• David C. Lindberg: Auge und Licht im Mittelalter. Die Entwicklung der Optik von Alkindi bis Kepler, Suhrkamp, Frankfurt am Main 1987.
• Peter M. Neumann: Reflections on Reflection in a Spherical Mirror, in: American Mathematical Monthly 105 (1998), S. 523–528.
• MacTutor History of Mathematics: Ibn al-Haytham (englisch)
• Wikipedia: Alhazen