Dreiecke

Ein Dreieck hat drei Ecken, drei Seiten und drei Winkel. Es ist die einfachste Figur, die von geraden Linien eingeschlossen wird. Jede andere Vielecksfläche lässt sich in Dreiecke zerlegen, deshalb baut fast die ganze Geometrie auf dem Dreieck auf. Du findest es im Dachgiebel, im Brückenträger, im Verkehrsschild und im Geodreieck.

Hier lernst du die Dreiecksarten, die Winkelsätze und die Dreiecksungleichung. Dazu kommen die besonderen Linien im Dreieck sowie Umfang und Flächeninhalt. Einen kurzen Überblick bietet der Abschnitt Dreiecke der Seite Geometrie. Winkel und Winkelsummen findest du ausführlich auf der Seite Winkel.

Bezeichnungen am Dreieck

Die Ecken heißen A, B und C und werden gegen den Uhrzeigersinn benannt. Die Seiten haben kleine Buchstaben: Die Seite a liegt der Ecke A gegenüber, b der Ecke B und c der Ecke C. Die Innenwinkel heißen α bei A, β bei B und γ bei C.

Dreiecksarten

Dreiecke teilst du auf zwei Arten ein: nach der Länge der Seiten und nach der Größe der Winkel.

Beide Einteilungen lassen sich mischen. Ein gleichseitiges Dreieck ist immer spitzwinklig. Ein gleichschenkliges Dreieck kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Das Geodreieck ist ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit den Winkeln 90°, 45° und 45°.

Im rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten am rechten Winkel Katheten, die längste Seite gegenüber heißt Hypotenuse. Zwischen ihnen gilt der Satz des Pythagoras. Mit den Winkeln im rechtwinkligen Dreieck beschäftigt sich später die Trigonometrie.

Die Innenwinkelsumme

In jedem Dreieck ergeben die drei Innenwinkel zusammen 180°. Das gilt für große und kleine, spitze und stumpfe Dreiecke. Du kannst es zeigen, indem du die Winkel nebeneinanderlegst: Schneide die drei Ecken eines Papierdreiecks ab und lege sie mit den Spitzen aneinander. Sie füllen genau eine gerade Linie.

Als Beweis zeichnest du durch die Ecke C die Parallele zur Seite AB. An ihr entstehen Wechselwinkel, die genau so groß sind wie α und β. Bei C liegen dann α, γ und β nebeneinander und bilden zusammen einen gestreckten Winkel. Die Zeichnung dazu findest du bei den Winkelsummen.

Aus der Winkelsumme folgen schnelle Schlüsse:

• Im gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel 180° : 3 = 60°.
• Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich. Hat die Spitze 56°, bleiben 124° für die beiden Basiswinkel, also je 62°.
• Im rechtwinkligen Dreieck ergeben die beiden anderen Winkel zusammen 90°.
• Ein Dreieck hat höchstens einen rechten oder stumpfen Winkel, sonst wäre die Summe zu groß.

Der Außenwinkel

Verlängerst du eine Seite über eine Ecke hinaus, entsteht an dieser Ecke ein Außenwinkel. Er ist der Nebenwinkel des Innenwinkels und ergibt mit ihm 180°.

Der Beweis ist kurz. Der Außenwinkel ist der Nebenwinkel von β, also gilt β′ = 180° − β. Aus der Winkelsumme folgt 180° − β = α + γ.

Die Dreiecksungleichung

Kann man aus drei Stäben mit den Längen 2 cm, 3 cm und 6 cm ein Dreieck legen? Nein: Die beiden kurzen Stäbe sind zusammen nur 5 cm lang und reichen nicht, um die Enden des langen Stabs zu verbinden. Der direkte Weg ist immer der kürzeste.

Im letzten Fall liegen die Stäbe flach auf einer Linie, es entsteht nur eine Strecke. Kennst du zwei Seiten, etwa a = 5 cm und b = 8 cm, dann liegt die dritte Seite zwischen dem Unterschied und der Summe: 8 − 5 = 3 cm < c < 8 + 5 = 13 cm.

Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie sich genau aufeinanderlegen lassen. Dafür genügen drei passende Stücke. Die Kongruenzsätze sagen, welche.

Drei gleiche Winkel genügen nicht: Sie legen nur die Form fest, nicht die Größe. Wie du ein Dreieck aus solchen Angaben zeichnest, steht im Abschnitt Dreiecke konstruieren.

Besondere Linien und Punkte

Im Dreieck gibt es vier Arten besonderer Linien. Jede Art hat drei Linien, und diese schneiden sich jeweils in einem Punkt.

Der Umkreis geht durch alle drei Ecken, sein Mittelpunkt hat von allen Ecken gleichen Abstand. Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen. Wie du beide zeichnest, zeigt der Abschnitt Umkreis und Inkreis.

Der Schwerpunkt

Die drei Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt. Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1, vom Eckpunkt aus gesehen. Wenn du ein Dreieck aus Pappe an dieser Stelle auf eine Bleistiftspitze setzt, bleibt es im Gleichgewicht.

In einem gleichseitigen Dreieck fallen alle vier Linienarten zusammen. In einem gleichschenkligen Dreieck liegen vier Linien auf der Symmetrieachse: Die Höhe zur Basis ist zugleich Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte der Basis und Winkelhalbierende der Spitze.

Ausblick: Die Euler-Gerade

Im Beispieldreieck ist der Höhenschnittpunkt H(2|2) und der Umkreismittelpunkt U(4|2). Zusammen mit S(10/3|2) liegen sie auf einer waagerechten Geraden. Das ist kein Zufall. In jedem Dreieck, das nicht gleichseitig ist, liegen H, S und U auf einer Geraden, der Euler-Geraden. Der Schwerpunkt teilt die Strecke HU im Verhältnis 2 : 1. Im Beispiel ist HS = 4/3 und SU = 2/3.

Benannt ist sie nach Leonhard Euler, der diese Eigenschaft in den 1760er-Jahren fand.

Umfang und Flächeninhalt

Der Umfang ist die Summe der drei Seitenlängen: U = a + b + c. Der Flächeninhalt hängt von einer Seite g (der Grundseite) und der zugehörigen Höhe h ab. Die Höhe ist der senkrechte Abstand der gegenüberliegenden Ecke von der Grundseite.

Zwei gleiche Dreiecke ergeben zusammen ein Parallelogramm mit der Grundseite g und der Höhe h. Dessen Fläche ist g · h. Das Dreieck ist die Hälfte davon.

Ausblick: Flächeninhalt aus drei Seiten

Kennst du nur die drei Seiten, hilft die Formel von Heron. Du rechnest erst die halbe Summe der Seiten, s = (a + b + c) : 2. Dann gilt:

Für ein Dreieck mit den Seiten 5, 5 und 6 ist s = 8 und A = √(8 · 3 · 3 · 2) = √144 = 12. Zur Kontrolle: Die Höhe auf die Seite 6 ist √(25 − 9) = 4, also A = 6 · 4 : 2 = 12. Das Ergebnis stimmt. Mit dem Dreiecksrechner kannst du solche Aufgaben überprüfen.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Dreiecke bei Euklid und später

Dreiecke sind seit dem Altertum die Grundfigur der Geometrie. Im Ägypten des Papyrus Rhind berechnete man die Fläche eines Dreiecks schon als halbe Grundseite mal Höhe. In den Elementen des Euklid (um 300 v. Chr.) steht in Buch 1 die Dreiecksungleichung als Satz 20, der Außenwinkelsatz und die Winkelsumme als Satz 32. Euklid beweist beide mit Parallelen, ähnlich wie oben.

Die Flächenformel aus den drei Seiten beschrieb Heron von Alexandria in seiner Metrika, die um die Mitte des 1. Jahrhunderts entstand. Im 13. Jahrhundert fand der chinesische Mathematiker Qin Jiushao eine gleichwertige Formel. Leonhard Euler entdeckte in den 1760er-Jahren, dass Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt und Umkreismittelpunkt auf einer Geraden liegen.

Häufige Fragen

Kann ein Dreieck zwei rechte Winkel haben?

Nein. Zwei rechte Winkel ergäben schon 180°, für den dritten Winkel bliebe nichts mehr übrig. Ein Dreieck hat höchstens einen rechten oder stumpfen Winkel.

Ist ein gleichseitiges Dreieck auch gleichschenklig?

Ja. Wenn alle drei Seiten gleich lang sind, sind auch zwei Seiten gleich lang. Das gleichseitige Dreieck ist ein Sonderfall des gleichschenkligen Dreiecks.

Welche Seite nimmt man als Grundseite?

Jede. Du brauchst nur die Höhe, die zu dieser Seite gehört. Das Ergebnis ist immer dasselbe, oft ist eine Seite aber bequemer, zum Beispiel die Kathete im rechtwinkligen Dreieck.

Warum heißt der Schwerpunkt so?

Weil ein gleichmäßig dickes Dreieck dort im Gleichgewicht ist. Ein Pappdreieck lässt sich an dieser Stelle auf einer Spitze balancieren.

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath (Hrsg.): The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3 Bände, 2. Auflage, Cambridge University Press, Cambridge 1926.
• Wikipedia: Dreieck
• Wikipedia: Eulersche Gerade
• Wikipedia: Satz des Heron
• Wikipedia: Dreiecksungleichung