Claudius Ptolemäus

Claudius Ptolemäus (griechisch Klaudios Ptolemaios) war ein griechischsprachiger Gelehrter, der ungefähr von 100 bis 170 n. Chr. lebte und in Alexandria arbeitete. Sein Hauptwerk, der Almagest, fasste die Astronomie seiner Zeit in 13 Büchern zusammen und blieb in Europa und der islamischen Welt rund 1.400 Jahre das maßgebliche Lehrbuch. Auch der Satz des Ptolemäus aus der Geometrie trägt seinen Namen. Mit den Königen der Ptolemäerdynastie, die Ägypten bis 30 v. Chr. regierten, wird er nicht in Verbindung gebracht, denn Ptolemaios war in Ägypten ein häufiger Name.

Sein Weltbild, in dem die Erde in der Mitte ruht und alle Himmelskörper um sie kreisen, prägte das Denken bis ins 16. Jahrhundert. Das war keine Dummheit: Das Modell sagte die Stellung der Planeten lange genauer voraus als die Konkurrenz.

Leben: Was bekannt ist

Über das Leben des Ptolemäus weiß man fast nichts. Als Geburtsort nennt erst der Byzantiner Theodoros Meliteniotes um 1360 Ptolemais Hermeiu in Oberägypten, ohne dass es dafür andere Belege gibt. Sicher ist nur, dass er in Alexandria den Himmel beobachtete. Seine früheste datierte Beobachtung stammt vom 26. März 127, die späteste vom 2. Februar 141. Der Name „Claudius“ deutet auf römisches Bürgerrecht hin. Den Almagest schrieb er danach, vermutlich bis um 150.

Der Almagest: Das Lehrbuch der Astronomie

Ptolemäus nannte sein Werk Mathematike Syntaxis, „mathematische Zusammenstellung“. Später hieß es wegen seiner Bedeutung Megiste Syntaxis, „größte Zusammenstellung“. Arabische Gelehrte machten daraus al-majisti, und davon stammt der Name Almagest.

Die Bücher I und II legen die Grundlagen, darunter die Sehnentafel, Buch III behandelt die Sonne, die Bücher IV bis VI den Mond und die Finsternisse. In den Büchern VII und VIII folgen die Fixsterne mit dem Katalog, die Bücher IX bis XIII beschreiben die Planeten. Wie viele Positionen im Katalog von Hipparchos stammen, ist umstritten. Ptolemäus nennt ihn oft als Vorbild.

Das ptolemäische Weltbild

Ptolemäus hielt die Erde für eine ruhende Kugel im Zentrum. Würde sie sich bewegen, so meinte er, müssten Wolken und Vögel zurückbleiben. Jeder Planet läuft bei ihm auf einem kleinen Kreis (Epizykel), dessen Mittelpunkt auf einem großen Kreis (Deferent) um die Erde wandert. Damit erklärt das Modell, warum Planeten am Himmel scheinbar Schleifen ziehen. Dazu kommt der Äquant, ein Hilfspunkt, von dem aus gesehen die Bewegung gleichmäßig wirkt. Die Epizykel hatte schon Apollonios verwendet.

Die Sehnentafel im Almagest

Um aus Winkeln am Himmel Längen zu berechnen, brauchte Ptolemäus eine Tafel. Er legte einen Kreis mit dem Radius 60 zugrunde und gab die Länge der Sehne für Winkel von ½° bis 180° in Schritten von ½° an. Er rechnete im Sechzigersystem der Babylonier: „1;02,50“ bedeutet 1 + 2/60 + 50/3600, also 1,0472. Beim Radius 60 hat die Sehne zum Winkel 60° genau die Länge 60.

Wie kam er auf die Werte? Für 36°, 60°, 72°, 90° und 120° ließen sich die Sehnen mit Konstruktionen aus Euklids Elementen berechnen. Mit dem Satz des Ptolemäus bildete er daraus Sehnen für Winkeldifferenzen und für halbe Winkel und kam so bis ¾°. Die Lücke bis 1° und ½° schloss er mit einer geschickten Abschätzung. Aus der Sehne für 1° folgte π ≈ 3;08,30, das sind 3,1417.

Der Satz des Ptolemäus

In einem Sehnenviereck, dessen vier Ecken auf einem Kreis liegen, ist das Produkt der beiden Diagonalen so groß wie die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten:

Ein Sonderfall ist das Rechteck: Beide Diagonalen sind gleich lang (d), und es folgt d² = a² + b², der Satz des Pythagoras. Beim regelmäßigen Fünfeck mit Seite s und Diagonale d liefert der Satz d² = s² + s · d. Daraus folgt d : s = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618, der Goldene Schnitt.

Geographie und weitere Werke

In der Geographie zeigt Ptolemäus, wie man Karten zeichnet, und führt Orte mit Länge und Breite auf. Den Nullmeridian legte er durch die Kanarischen Inseln. Er rechnete mit einem zu kleinen Erdumfang von 180.000 Stadien statt der 250.000 von Eratosthenes, deshalb erschien Eurasien auf seinen Karten zu breit. In Europa wurde das Buch um 1400 durch eine lateinische Übersetzung wiederentdeckt.

Die Tetrabiblos behandeln Astrologie, die Optik Spiegelung und Brechung des Lichts, die Harmonik die Musiktheorie. Eine Schrift über das Parallelenpostulat ist nur durch Proklos bekannt, ihr Beweis ist fehlerhaft.

Zeitleiste: Ptolemäus und der Almagest

1. um 100 n. Chr. Geburt, Ort unsicher.
2. 26. März 127 Früheste datierte Beobachtung in Alexandria.
3. 2. Februar 141 Späteste datierte Beobachtung.
4. um 150 Der Almagest ist vollendet.
5. 9. Jh. Der Almagest wird ins Arabische übersetzt.
6. 1175 Gerhard von Cremona überträgt ihn in Toledo ins Lateinische.
7. 1543 Kopernikus veröffentlicht sein Weltbild mit der Sonne im Zentrum.
8. 1609 Kepler beschreibt die Marsbahn als Ellipse.

Bedeutung heute: Von der Sehne zum Sinus

Ptolemäus’ Sehnentafel wurde über indische und arabische Zwischenstufen zur Sinustafel, mit der heute jeder Taschenrechner arbeitet (Trigonometrie). Länge und Breite stammen aus seiner Geographie. Von seinen 48 Sternbildern sind 47 bis heute offiziell anerkannt, nur das Schiff Argo wurde in drei Teile zerlegt. Das Überlagern von Kreisbewegungen gilt manchen Historikern als Vorläufer der Fourier-Analyse, die Joseph Fourier im 19. Jahrhundert begründete. Den Zusammenhang der Zeit beschreibt der Artikel Hellenistische Mathematik, die Fortsetzung der Trigonometrie der Artikel Mathematik der islamischen Welt.

Häufige Fragen

Was bedeutet Almagest?

Der Name kommt vom arabischen al-majisti, das auf das griechische Megiste Syntaxis („größte Zusammenstellung“) zurückgeht.

Was besagt der Satz des Ptolemäus?

In jedem Viereck, dessen Ecken auf einem Kreis liegen, ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten.

Warum war das ptolemäische Weltbild so lange gültig?

Es erklärte die Beobachtungen gut und sagte Planetenstände zuverlässig voraus. Erst Kepler ersetzte die Kreise durch Ellipsen und machte das Modell überflüssig.

Quellen und weiterführende Literatur

• Gerald J. Toomer (Hrsg.): Ptolemy’s Almagest, Springer, New York 1984.
• Karl Manitius (Hrsg.): Des Claudius Ptolemäus Handbuch der Astronomie, 2 Bände, Teubner, Leipzig 1912–1913.
• Olaf Pedersen: A Survey of the Almagest, überarbeitete Ausgabe mit Alexander Jones, Springer, New York 2011.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Claudius Ptolemy (englisch)