La numération babylonienne est un système de position en base 60, appelé système sexagésimal. Elle se contente de deux signes d’écriture cunéiforme : un clou vertical pour 1 et un chevron pour 10. Avec eux, on compose tous les chiffres de 1 à 59. Comme dans notre système décimal, la valeur d’un chiffre dépend de sa position, mais chaque position vaut ici 60 fois celle de droite.
Sur cette page, tu apprends les signes, la lecture et l’écriture des positions, la conversion dans les deux sens et le calcul avec des fractions sexagésimales. Tu découvres pourquoi les Babyloniens n’écrivaient ni virgule ni, pendant longtemps, de zéro, et pourquoi nous comptons encore 60 minutes par heure. Des exercices corrigés pour la 6e et au-delà terminent la page. Pour les autres numérations, voir les chiffres égyptiens, les chiffres mayas, les chiffres romains et le tableau des systèmes de numération.
Les deux signes : le clou et le chevron
Les scribes enfonçaient un roseau taillé dans l’argile fraîche. Cela laissait des empreintes en forme de coin, d’où le nom d’écriture cunéiforme. Un clou vertical vaut 1 et un chevron vaut 10. Pour un chiffre, on juxtapose les signes : 23 s’écrit avec 2 chevrons et 3 clous.
La valeur de position en base 60
Pour écrire de plus grands nombres, on place plusieurs positions côte à côte. La position la plus élevée est à gauche, les unités à droite, comme chez nous. Chaque position vaut 60 fois celle de droite : ce sont les puissances de 60.
| Position (depuis la droite) | Valeur | Puissance |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 600 |
| 2 | 60 | 601 |
| 3 | 3 600 | 602 |
| 4 | 216 000 | 603 |
| 5 | 12 960 000 | 604 |
Dans cette page, on note les positions avec une barre verticale : 1 | 23 veut dire 1 soixantaine et 23 unités. Sur les tablettes, il n’y avait que les signes, séparés par de petits espaces. On évite la virgule, car en français elle est déjà la virgule décimale.
Convertir les nombres babyloniens dans les deux sens
Du nombre babylonien à notre nombre
- Lis chaque position comme un chiffre : 10 fois les chevrons plus les clous.
- Note la valeur de chaque position : 1, 60, 3 600, … depuis la droite.
- Multiplie chaque chiffre par la valeur de sa position et additionne.
Exemple : les positions 12 | 40 valent 12 · 60 + 40 = 720 + 40 = 760.
De notre nombre au nombre babylonien
Divise le nombre par 60 plusieurs fois en notant les restes. Le premier reste est la position de droite, le suivant la position à sa gauche. Tu t’arrêtes quand le quotient vaut 0. C’est la même méthode que pour le système binaire et les chiffres mayas, en divisant par 60. Chaque reste s’écrit ensuite avec des chevrons et des clous.
| Division | Reste | Position (depuis la droite) |
|---|---|---|
| 2 026 : 60 = 33 | 46 | 1 |
| 33 : 60 = 0 | 33 | 2 |
Les restes 46 et 33 donnent 33 | 46. Vérification : 33 · 60 + 46 = 2 026.
Pour contrôler tes résultats, le convertisseur de systèmes de numération (interface en allemand) montre, pour tout nombre entré, l’écriture cunéiforme et les positions.
Pas de zéro, pas de virgule : le contexte décide
Les Babyloniens n’écrivaient ni virgule ni zéro. À l’époque paléo-babylonienne, une position vide restait simplement libre : un petit espace facile à manquer. Ils ne marquaient pas non plus où se trouvaient les unités. La même suite de signes « 1 30 » pouvait donc avoir plusieurs sens.
| Écriture | Calcul | Valeur |
|---|---|---|
| 1 | 30 | 1 · 60 + 30 | 90 |
| 1 ; 30 | 1 + 30/60 | 1,5 |
| 1 | 30 | 0 | 1 · 3 600 + 30 · 60 + 0 | 5 400 |
La valeur voulue ressortait du problème. Pour une surface de champ ou un prix, un scribe expérimenté savait quel ordre de grandeur était plausible. Un signe pour les places vides apparaît au cours du premier millénaire avant J.-C. Il se trouve en général entre deux chiffres, et personne n’a calculé avec lui.
Les fractions sexagésimales : des calculs sans reste
Les Babyloniens écrivaient aussi les parties d’unité en base 60. Après le point-virgule viennent les soixantièmes, puis les trois-mille-six-centièmes, et ainsi de suite : 0 ; 30 vaut 30/60, soit 1/2. Le point-virgule est une notation moderne. Comme 60 a beaucoup de diviseurs, de nombreuses fractions tombent juste. Pour les tiers, l’avantage est clair : 1/3 s’écrit 0 ; 20, alors qu’en base 10 on a 0,333… sans fin.
| Fraction | Sexagésimal | Décimal (arrondi) |
|---|---|---|
| 1/2 | 0 ; 30 | 0,5 |
| 1/3 | 0 ; 20 | ≈ 0,3333 |
| 1/4 | 0 ; 15 | 0,25 |
| 1/5 | 0 ; 12 | 0,2 |
| 1/6 | 0 ; 10 | ≈ 0,1667 |
| 1/8 | 0 ; 7 | 30 | 0,125 |
| 1/9 | 0 ; 6 | 40 | ≈ 0,1111 |
| 1/12 | 0 ; 5 | ≈ 0,0833 |
| 1/15 | 0 ; 4 | ≈ 0,0667 |
| 1/16 | 0 ; 3 | 45 | 0,0625 |
| 1/20 | 0 ; 3 | 0,05 |
| 1/25 | 0 ; 2 | 24 | 0,04 |
Pour diviser, les Babyloniens utilisaient des tables d’inverses : a : b se calcule comme a · (1/b). Les nombres 7, 11 et 13 ne figurent pas dans les tables, car leurs inverses ne tombent pas juste. Une fraction sexagésimale s’arrête seulement si le dénominateur n’a pas d’autres facteurs premiers que 2, 3 et 5.
Pourquoi 60 ?
On ne sait pas pourquoi les Sumériens et les Babyloniens ont choisi 60. Un argument fort est sa divisibilité : 60 a douze diviseurs (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60), 10 seulement quatre. De plus, 60 est le plus petit nombre divisible par 1, 2, 3, 4, 5 et 6. La moitié, le tiers, le quart, le cinquième et le sixième d’une heure sont donc des minutes entières : 30, 20, 15, 12 et 10.
Les traces aujourd’hui : 60 minutes et 360 degrés
Le système en base 60 survit dans le temps et dans la mesure des angles. Une heure compte 60 minutes, et une minute 60 secondes. Un degré se divise en 60 minutes d’arc, et une minute d’arc en 60 secondes d’arc. Les mots « minute » et « seconde » viennent du latin pars minuta prima et pars minuta secunda, la première et la deuxième partie diminuée, c’est-à-dire les premiers et les deuxièmes soixantièmes.
Les astronomes grecs ont repris les fractions sexagésimales : Ptolémée calcule avec elles dans tout l’Almageste, et Hipparque s’appuie sur des observations babyloniennes. Que le cercle compte 360 degrés (6 · 60) n’a pas d’origine unique certaine : on cite aussi les quelque 360 jours de l’année et les nombreux diviseurs de 360.
Erreurs fréquentes
Exercices corrigés
D’où vient la numération babylonienne ?
Les premiers signes de nombres des Sumériens apparaissent vers 3300 à 3200 av. J.-C. et n’ont pas encore de valeur de position. Le système de position en base 60 entre dans les écoles de scribes au plus tard à l’époque paléo-babylonienne, vers 2000 av. J.-C. C’est de cette époque que datent les tablettes de multiplications, d’inverses et d’équations. L’ensemble est présenté dans la page Sumerische und babylonische Mathematik (en allemand). Un autre système de position est celui des chiffres mayas, tandis que les chiffres égyptiens n’ont aucune valeur de position. Pour la place de ces peuples dans l’histoire, voir l’histoire des mathématiques.
Questions fréquentes
Comment fonctionne la numération babylonienne ?
Elle a deux signes, le clou pour 1 et le chevron pour 10, et la base 60. Une position montre de 1 à 59, et chaque position vaut 60 fois celle de droite. Des exemples figurent dans la partie valeur de position.
Comment convertir un nombre babylonien ?
Du babylonien au décimal : multiplie chaque position par sa valeur (1, 60, 3 600, …) et additionne. Dans l’autre sens : divise par 60 plusieurs fois et écris les restes de droite à gauche. Voir la conversion.
Qu’est-ce que le système sexagésimal, expliqué simplement ?
Un système de numération en base 60 dans lequel chaque position vaut 60 fois celle de droite. Il vient de Mésopotamie et survit dans l’heure (60 minutes, 60 secondes) et dans les angles.
Les Babyloniens avaient-ils un zéro ?
Pas comme nombre. Un signe pour les places vides est apparu plus tard, mais on n’a pas calculé avec lui. Le zéro comme nombre est né en Inde.
Pourquoi une heure compte-t-elle 60 minutes ?
Cette division vient de la base 60 des Babyloniens, reprise par les astronomes grecs. Comme 60 a beaucoup de diviseurs, la moitié, le tiers, le quart et le sixième d’une heure sont des minutes entières.
Existe-t-il un convertisseur de nombres babyloniens ?
Le convertisseur de systèmes de numération (interface en allemand) montre, pour tout nombre entré, comment les Babyloniens l’auraient écrit en cunéiforme.
Sources et pour aller plus loin
- CNRS Images des mathématiques : Promenade mathématique en Mésopotamie (Jean Brette)
- MacTutor History of Mathematics : Babylonian numerals (en anglais)
- Wikipédia : Numération mésopotamienne
- Eleanor Robson : Mathematics in Ancient Iraq. A Social History, Princeton University Press, Princeton 2008.
- Georges Ifrah : Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, Paris 1994.
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