El sistema sexagesimal es un sistema de numeración de base 60: cada posición vale 60 veces la de su derecha. Lo crearon los sumerios y lo perfeccionaron los babilonios hace unos 4000 años, y hoy lo seguimos usando para medir el tiempo (1 hora = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos) y los ángulos (1 grado = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos). Los babilonios lo escribían con solo dos signos de cuña, una vertical para el 1 y otra en ángulo para el 10, y así formaban todas las cifras del 1 al 59.
Aquí aprendes los números babilónicos, cómo leerlos y convertirlos, cómo funcionan las fracciones en base 60, y después cómo usar el sistema en la vida diaria con horas, grados, minutos y segundos. Hay ejemplos resueltos, una sección para primaria y ejercicios con soluciones. Una visión de todos los sistemas está en sistemas de numeración, y la historia en Sumerische und babylonische Mathematik (en alemán).
Números babilónicos: las dos cuñas
Los escribas presionaban un cálamo de caña sobre arcilla húmeda y dejaban marcas en forma de cuña, de ahí el nombre de escritura cuneiforme. Una cuña vertical vale 1 y una cuña en ángulo (la que parece un «<») vale 10. Para una cifra juntas los signos: el 23 son 2 cuñas en ángulo y 3 verticales.
Por ejemplo, 34 son 3 cuñas en ángulo y 4 verticales (3 · 10 + 4), 47 son 4 en ángulo y 7 verticales, y la cifra mayor, 59, lleva 5 en ángulo y 9 verticales. Estas son todas las cifras babilónicas, del 1 al 59:
Valor posicional en base 60
Los números mayores se escriben con varias posiciones una junto a otra. A la izquierda va la más alta, a la derecha las unidades, como en nuestro sistema. Cada posición vale 60 veces la de su derecha: son las potencias de 60.
| Posición (desde la derecha) | Valor | Como potencia |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 600 |
| 2 | 60 | 601 |
| 3 | 3600 | 602 |
| 4 | 216 000 | 603 |
| 5 | 12 960 000 | 604 |
Hoy se separan las posiciones con comas: 1,23 significa un sesenta y 23 unidades. En las tablillas no había coma; solo un pequeño espacio entre las posiciones.
Cómo convertir números babilónicos y sexagesimales
De sexagesimal a decimal
- Lee cada posición como una cifra: 10 por las cuñas en ángulo más las verticales.
- Escribe el valor de cada posición, de derecha a izquierda: 1, 60, 3600, …
- Multiplica cada cifra por su valor y suma.
Ejemplo: 12,40 son 12 · 60 + 40 = 720 + 40 = 760.
De decimal a sexagesimal
Divide el número entre 60 una y otra vez y anota los restos. El primer resto es la posición de la derecha, el siguiente la de su izquierda, y paras cuando el cociente es 0. Es el mismo método de las divisiones que se usa para el sistema binario y para los números mayas, pero dividiendo entre 60.
| Cuenta | Cociente | Resto |
|---|---|---|
| 2026 : 60 | 33 | 46 |
| 33 : 60 | 0 | 33 |
Los restos 46 y 33 dan 33,46. Comprobación: 33 · 60 + 46 = 2026. Otros ejemplos: 100 = 1,40; 3600 = 1,0,0 y 4000 = 1,6,40.
Para comprobar tus resultados puedes usar el conversor de sistemas de numeración (interfaz en alemán), que muestra cómo habrían escrito el número los babilonios.
Sin cero ni coma: el contexto decide
Los babilonios no escribían coma ni, durante siglos, cero. En la época paleobabilónica una posición vacía se dejaba en blanco, un hueco fácil de pasar por alto. Tampoco marcaban dónde están las unidades. Por eso la misma sucesión de signos «1 30» podía significar cosas distintas.
| Escritura | Cuenta | Valor |
|---|---|---|
| 1,30 | 1 · 60 + 30 | 90 |
| 1;30 | 1 + 30/60 | 1½ |
| 1,30,0 | 1 · 3600 + 30 · 60 + 0 | 5400 |
El valor correcto lo daba el problema: ante una superficie de campo o un precio, un escriba experto sabía qué orden de magnitud era razonable. Más tarde, en el primer milenio a. C., apareció un signo para marcar las posiciones vacías, normalmente entre dos cifras, pero nadie calculaba con él.
Fracciones sexagesimales: calcular sin resto
Los babilonios escribían también las fracciones en base 60. Después del punto y coma van los sesentavos, luego los tres mil seiscientosavos y así sucesivamente: 0;30 es 30/60, es decir, 1/2. Como el 60 tiene muchos divisores, muchas fracciones salen exactas. Con los tercios se ve la ventaja: 1/3 es 0;20, mientras que en decimal es 0,333… sin fin.
| Fracción | Sexagesimal | Decimal (redondeado) |
|---|---|---|
| 1/2 | 0;30 | 0,5 |
| 1/3 | 0;20 | ≈ 0,3333 |
| 1/4 | 0;15 | 0,25 |
| 1/5 | 0;12 | 0,2 |
| 1/6 | 0;10 | ≈ 0,1667 |
| 1/8 | 0;7,30 | 0,125 |
| 1/9 | 0;6,40 | ≈ 0,1111 |
| 1/10 | 0;6 | 0,1 |
| 1/12 | 0;5 | ≈ 0,0833 |
| 1/15 | 0;4 | ≈ 0,0667 |
| 1/16 | 0;3,45 | 0,0625 |
| 1/18 | 0;3,20 | ≈ 0,0556 |
| 1/20 | 0;3 | 0,05 |
| 1/24 | 0;2,30 | ≈ 0,0417 |
| 1/25 | 0;2,24 | 0,04 |
| 1/27 | 0;2,13,20 | ≈ 0,037 |
| 1/30 | 0;2 | ≈ 0,0333 |
Los babilonios dividían con tablas de inversos: a : b se calculaba como a · (1/b). El 7, el 11 y el 13 no aparecen en las tablas, porque sus inversos no son exactos: 1/7 es 0;8,34,17,8,34,17… y sigue repitiéndose. Una fracción sexagesimal termina solo si el denominador no tiene más factores primos que 2, 3 y 5.
¿Por qué 60?
No se sabe por qué sumerios y babilonios eligieron el 60. Un argumento fuerte es su divisibilidad: el 60 tiene doce divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60) y el 10 solo cuatro. Además, 60 es el menor número divisible entre 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Por eso la mitad, un tercio, un cuarto, un quinto y un sexto de una hora son minutos enteros: 30, 20, 15, 12 y 10.
El sistema sexagesimal hoy: horas, grados, minutos y segundos
La herencia babilónica está en la medida del tiempo y de los ángulos. Una hora tiene 60 minutos y un minuto, 60 segundos. Un grado tiene 60 minutos de arco y un minuto de arco, 60 segundos de arco. Las palabras «minuto» y «segundo» vienen del latín pars minuta prima y pars minuta secunda: la primera y la segunda parte pequeña, es decir, los primeros y segundos sesentavos.
Los astrónomos griegos adoptaron las fracciones sexagesimales: Claudio Ptolomeo calculó con ellas en el Almagest (Ptolomeo, en alemán). Que la circunferencia tenga 360 grados, es decir, 6 · 60, no tiene un único origen seguro: se citan los doce signos del zodiaco de 30 partes de los astrónomos babilonios, los cerca de 360 días del año y la gran divisibilidad del 360, que tiene 24 divisores.
Horas, minutos y segundos
Para sumar y restar tiempos se calcula por posiciones, igual que en la suma escrita, pero llevando de 60 en 60.
Grados, minutos y segundos
Un ángulo se puede escribir en grados decimales (35,25°) o en grados, minutos y segundos (35° 15′ 0″). Para pasar de un modo a otro: 1° = 60′ = 3600″.
- De decimal a grados, minutos y segundos: la parte entera son los grados. Multiplica la parte decimal por 60: la parte entera son los minutos. Vuelve a multiplicar la parte decimal por 60 y obtienes los segundos.
- De grados, minutos y segundos a decimal: grados + minutos / 60 + segundos / 3600.
Para sumar y restar ángulos se reagrupa de 60 en 60:
Ángulos complementarios y suplementarios
Dos ángulos son complementarios si suman 90° y suplementarios si suman 180°. El complementario de 35° 20′ es 90° − 35° 20′ = 54° 40′. El suplementario de 112° 30′ es 180° − 112° 30′ = 67° 30′. Si tienes que resolver una ecuación como x + 25° 40′ = 90°, restas: x = 90° − 25° 40′ = 64° 20′.
Sistema sexagesimal para primaria
- Lo que se practica: pasar horas a minutos y minutos a segundos, sumar y restar tiempos, leer una hora en el reloj y empezar a medir ángulos.
- Una idea para la clase o para casa: con un reloj de cartón, el alumnado mueve las agujas y escribe cuántos minutos y segundos pasan en cada vuelta.
- Un error típico: escribir 1 h 75 min en vez de 2 h 15 min. Si los minutos llegan a 60, se pasa una hora.
Ejercicios con soluciones
Características del sistema sexagesimal
- Base 60: cada posición vale 60 veces la de su derecha.
- Posicional: el valor de una cifra depende de su posición.
- Cifras de 1 a 59: cada una formada por cuñas verticales (1) y en ángulo (10).
- Cero: primero un hueco, más tarde un signo de posición vacía, nunca un número con el que se calcula.
- Sin coma: el contexto decía cómo leer el número.
- Muchos divisores: permite fracciones exactas de uso corriente.
De dónde vienen los números babilónicos
Los primeros signos numéricos de los sumerios aparecen hacia 3300 a 3200 a. C. y todavía no eran posicionales. El sistema posicional de base 60 llegó a las escuelas de escribas, a más tardar, en la época paleobabilónica, hacia 2000 a. C. De entonces proceden las tablillas con multiplicaciones, inversos y ecuaciones. Otro sistema posicional distinto es el de los números mayas, de base 20, y uno sin posiciones es el de los números egipcios. La historia general está en historia de las matemáticas.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el sistema sexagesimal?
Es un sistema de numeración de base 60, en el que cada posición vale 60 veces la de su derecha. Viene de Mesopotamia y sigue vivo en el reloj (60 minutos, 60 segundos) y en la medida de los ángulos.
¿Dónde se usa el sistema sexagesimal?
En la medida del tiempo (horas, minutos y segundos), en los ángulos (grados, minutos y segundos), en la geografía (latitud y longitud) y en la astronomía.
¿Cómo se pasa de grados decimales a grados, minutos y segundos?
Los grados son la parte entera. Multiplicas la parte decimal por 60 para obtener los minutos y, si queda decimal, otra vez por 60 para los segundos. Hay ejemplos arriba.
¿Cómo funcionan los números babilónicos?
Con dos signos, la cuña vertical (1) y la cuña en ángulo (10), y la base 60. Una posición muestra de 1 a 59 y cada posición vale 60 veces la de su derecha. Los ejemplos están en la sección de valor posicional.
¿Tenían cero los babilonios?
No como número. Más tarde tuvieron un signo para las posiciones vacías, pero no calculaban con él. El cero como número nació en la India.
¿Por qué la hora tiene 60 minutos?
La división viene del sistema sexagesimal de los babilonios, que adoptaron los astrónomos griegos. El 60 tiene muchos divisores, así que la mitad, un tercio, un cuarto y un sexto de hora son minutos enteros.
¿Cómo se suman las horas?
Se suma por posiciones y se lleva de 60 en 60: 3 h 45 min + 2 h 30 min = 5 h 75 min = 6 h 15 min.
Fuentes y lecturas recomendadas
- Wikipedia: Sistema sexagesimal
- MacTutor History of Mathematics: Babylonian numerals (en inglés)
- Eleanor Robson: Mathematics in Ancient Iraq. A Social History, Princeton University Press, Princeton 2008 (en inglés).
- Otto Neugebauer: Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften, Band 1: Vorgriechische Mathematik, Springer, Berlín 1934 (en alemán).
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