Normalverteilung berechnen: Wahrscheinlichkeiten und Quantile

So benutzt du den Rechner

Trag den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ ein und wähle, was gesucht ist. Für Wahrscheinlichkeiten gibst du Grenzen ein, für Quantile und Intervalle eine Wahrscheinlichkeit wie 0,95. Die gesuchte Fläche wird unter der Glockenkurve eingefärbt. Der Rechner berechnet die Werte direkt und genauer als jede gedruckte Tabelle.

Die Gaußsche Glockenkurve

Viele Messgrößen streuen symmetrisch um einen Mittelwert: Körpergrößen, Messfehler oder die Füllmenge von Flaschen. Ihre Verteilung folgt oft der Normalverteilung mit der Dichte

Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter dieser Kurve. Weil sich die Fläche nicht mit einer einfachen Stammfunktion berechnen lässt, standardisiert man mit z = (x − μ) : σ und verwendet die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung. Die Kurve trägt den Namen von Carl Friedrich Gauß, der sie 1809 für Messfehler in der Astronomie nutzte. Bis zur Einführung des Euro war sie zusammen mit seinem Porträt auf dem Zehnmarkschein abgebildet.

Die Faustregeln

Bei jeder Normalverteilung liegen etwa 68,3 % der Werte im Bereich μ ± σ, etwa 95,4 % in μ ± 2σ und 99,7 % in μ ± 3σ. Umgekehrt enthält das Intervall μ ± 1,96σ genau 95 % der Werte. Dieser Faktor 1,96 begegnet dir bei Konfidenzintervallen immer wieder. Im Modus „symmetrisches Intervall“ berechnet der Rechner solche Faktoren für jede Wahrscheinlichkeit.

Quantile: rückwärts rechnen

Oft ist die Wahrscheinlichkeit gegeben und die Grenze gesucht. Ab welchem IQ gehört man zu den besten 5 %? Gesucht ist x mit P(X ≤ x) = 0,95. Aus Φ(z) = 0,95 folgt z ≈ 1,645, also x = 100 + 1,645 · 15 ≈ 124,7.

Häufige Fragen