Das Prognoseintervall · Klasse 13 | Geschichte der Mathematik

Das Prognoseintervall

Lektion 1 von 3 im Kapitel Schritt 27 von 37 in Klasse 13

Beim Konfidenzintervall schließt du von einer beobachteten relativen Häufigkeit auf den unbekannten Anteil p. Das Prognoseintervall dreht die Frage um. Hier ist der Anteil p bekannt oder wird angenommen, und du sagst voraus, in welchem Bereich die relative Häufigkeit h einer Stichprobe vom Umfang n mit hoher Wahrscheinlichkeit liegen wird. Man spricht auch von Schätzintervall oder Streuintervall. Gerechnet wird mit denselben Sigma-Regeln.

Beispiel: Ausschuss in der Stichprobe

Eine Maschine liefert nach Herstellerangabe 8 % Ausschuss. Du prüfst eine Stichprobe von 500 Teilen. Wie viele defekte Teile sind bei einer Sicherheit von 95 % zu erwarten?

Es ist $μ = 500 \cdot 0,08 = 40$ und $σ = \sqrt{500 \cdot 0,08 \cdot 0,92} = \sqrt{36,8} \approx 6,07$ . Wegen $σ > 3$ darfst du die Sigma-Regeln benutzen. Mit $z = 1,96$ ist $1,96 \cdot 6,07 \approx 11,9$ , das Intervall heißt also $28,1 \leq X \leq 51,9$ . Ganzzahlig sind das 29 bis 51 defekte Teile. Als relative Häufigkeit ergibt sich ungefähr 5,6 % bis 10,4 %.

Bedeutung: Stimmt die Herstellerangabe, liegt die Zahl der defekten Teile in etwa 95 von 100 solchen Stichproben zwischen 29 und 51. Findest du in deiner Stichprobe 60 defekte Teile, liegt das außerhalb. Das spricht dafür, dass der Ausschussanteil höher ist als 8 %. Dieser Gedanke steht hinter dem Hypothesentest.

Prognoseintervall und Konfidenzintervall im Vergleich
	Prognoseintervall	Konfidenzintervall
Gegeben	Anteil p und Umfang n	beobachtete Häufigkeit $\hat{p}$ und Umfang n
Gesucht	Bereich für die relative Häufigkeit h	Bereich für den unbekannten Anteil p
Mitte des Intervalls	der Anteil p	die Stichprobenhäufigkeit $\hat{p}$
Unter der Wurzel	p	$\hat{p}$ (Standardfehler)
Zeitpunkt	vor der Stichprobe	nach der Stichprobe

Das Prognoseintervall wird mit wachsendem n schmaler, und zwar wie 1 : √n. Stellt man die Grenzen in Abhängigkeit von n dar, entsteht eine Trichterform, die man Wurzeltrichter nennt. Bei $p = 0,5$ und 95 % Sicherheit ist die halbe Breite für $n = 100$ gleich $1,96 \cdot 0,05 = 0,098$ , für $n = 400$ gleich 0,049 und für $n = 1.600$ gleich 0,0245. Vervierfachst du die Stichprobe, halbiert sich also die Breite. Die Sigma-Regeln für die Trefferzahl stehen bei der Binomialverteilung, die Glockenform erklärt die Normalverteilung. Die Verteilung selbst zeichnet der Binomialverteilungs-Rechner.

Diese Lektion stammt aus der Seite Konfidenzintervalle. Dort steht das Thema im Zusammenhang, mit Geschichte und häufigen Fragen.