Rechner · Klasse 11 bis Studium
Binomialverteilung berechnen: Rechner mit Tabelle und Histogramm
Wie wahrscheinlich sind genau 6 Treffer bei 20 Versuchen? Der Rechner bestimmt Einzel- und kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung, zeigt die Verteilung als Histogramm und ersetzt die Tabelle im Tafelwerk, auch für sehr große n.
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So benutzt du den Rechner
Trag die Anzahl der Versuche n und die Trefferwahrscheinlichkeit p ein. p darf eine Dezimalzahl (0,3), ein Bruch (1/6) oder eine Prozentangabe (30%) sein. Dann wählst du, was gesucht ist: genau k Treffer, höchstens k, mindestens k oder zwischen a und b Treffern. Die betroffenen Säulen im Histogramm werden hervorgehoben, die Tabelle darunter ersetzt das Nachschlagen im Tafelwerk.
Die Formel von Bernoulli
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ausgängen, Treffer oder Niete, heißt Bernoulli-Experiment. Wird es n-mal unabhängig wiederholt, ist die Anzahl X der Treffer binomialverteilt:
Der Binomialkoeffizient zählt, an welchen Stellen die k Treffer liegen können, der Rest ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades im Baumdiagramm. Benannt ist die Verteilung nach Jakob Bernoulli, dessen Buch „Ars Conjectandi“ 1713 erschien.
Erwartungswert und Streuung
Im Mittel erwartet man μ = n · p Treffer, im Beispiel 6. Die Standardabweichung σ = √(n · p · (1 − p)) ≈ 2,05 misst, wie stark die Trefferzahl typischerweise schwankt. Die Sigma-Regeln sagen: Etwa 68 % der Ergebnisse liegen im Intervall μ ± σ, etwa 95 % in μ ± 2σ und fast alle in μ ± 3σ. Diese Faustregeln gelten gut, wenn σ größer als 3 ist (Laplace-Bedingung). Der Rechner vergleicht sie im Erweitert-Bereich mit den tatsächlichen Werten.
Mindestens einmal: das Gegenereignis
Fragen nach „mindestens“ löst man am einfachsten über das Gegenereignis. Wie wahrscheinlich ist bei 10 Würfen mit einem Würfel mindestens eine Sechs? P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (5/6)¹⁰ ≈ 0,8385. Der Rechner zeigt diesen Weg im Rechenweg an.
Häufige Fragen
Wann ist ein Experiment binomialverteilt?
Wenn es genau zwei Ausgänge gibt, die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch gleich bleibt und die Versuche unabhängig sind. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Urne ist deshalb nicht binomialverteilt, sondern hypergeometrisch.
Was bedeutet das Quantil im Rechner?
Das kleinste k, für das P(X ≤ k) mindestens α erreicht. Man braucht es bei Hypothesentests, um Ablehnungsbereiche zu bestimmen.
Was mache ich bei sehr großem n?
Der Rechner kommt mit n bis 100 000 zurecht. Für große n ähnelt die Binomialverteilung immer mehr einer Glockenkurve, dann lässt sie sich mit dem Normalverteilungsrechner annähern.