Die Gütefunktion

Im Abschnitt zu den Fehlern 1. und 2. Art hast du die Wahrscheinlichkeiten α und β für einzelne Werte von p berechnet. Mit der Gütefunktion siehst du alle Werte auf einmal. Sie gibt für jeden möglichen wahren Wert p an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Test die Nullhypothese ablehnt:

Lies die Tabelle so: Bei p = 0,10 liegt g bei etwa 0,040, also unter dem Signifikanzniveau von 5 %. Das ist der größte Wert der Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art im Bereich von H₀. Je größer der wahre Anteil defekter Birnen, desto sicherer lehnt der Test H₀ ab: Bei p = 0,20 geschieht das in etwa 87 % der Fälle, in den übrigen 13 % wird der Mangel übersehen. Bei p = 0,12 dagegen, wenn also nur geringfügig mehr als 10 % defekt sind, erkennt der Test den Mangel nur in 14 % der Fälle. Der Graph von g steigt S-förmig von links unten nach rechts oben, am steilsten bei etwa p = 0,15.

Was heißt das für die Praxis? Ein Test ist umso trennschärfer, je steiler die Gütefunktion an der Grenze verläuft. Ein größerer Stichprobenumfang n macht die Kurve steiler: Der Test unterscheidet dann auch knapp benachbarte Werte von p. Man kann daher umgekehrt fordern, dass der Fehler 2. Art bei einem bestimmten p höchstens eine vorgegebene Größe hat, und daraus ein passendes n bestimmen. Auch das Signifikanzniveau wirkt auf die Gütefunktion: Wählst du α kleiner, wird der Ablehnungsbereich kleiner, und g sinkt überall, also auch im Bereich von H₁. Fehler 1. und 2. Art lassen sich deshalb nicht gleichzeitig beliebig verkleinern. Das erklärt, warum man bei der Wahl von α abwägt, welcher Fehler schwerer wiegt.