Arthur Cayley

Arthur Cayley (1821–1895) war ein englischer Mathematiker, der die Matrizenrechnung begründete. Er zeigte, dass man mit rechteckigen Zahlentabellen so rechnen kann wie mit Zahlen: addieren, multiplizieren und sogar „dividieren“. Nach ihm benannt sind außerdem der Satz von Cayley-Hamilton, der Satz von Cayley über Gruppen, die Cayley-Tafel und die Cayley-Formel für Bäume.

Cayley war kein Berufsmathematiker im üblichen Sinn: Vierzehn Jahre lang arbeitete er hauptberuflich als Rechtsanwalt in London und schrieb in dieser Zeit rund 250 mathematische Aufsätze. Erst 1863 wurde er Professor in Cambridge. Insgesamt hinterließ er 967 Veröffentlichungen.

Kindheit und Studium in Cambridge

Arthur Cayley wurde am 16. August 1821 in Richmond bei London geboren. Seine ersten sieben Lebensjahre verbrachte er in Sankt Petersburg, wo sein Vater als Kaufmann arbeitete. Danach besuchte er Schulen in England. 1838 begann er am Trinity College in Cambridge. Im Abschlussexamen von 1842 wurde er Senior Wrangler, also bester Absolvent seines Jahrgangs, und gewann den ersten Smith-Preis, eine begehrte Auszeichnung für mathematische Aufsätze. Danach unterrichtete er vier Jahre in Cambridge und veröffentlichte in dieser Zeit 28 Aufsätze.

Vierzehn Jahre als Anwalt

1846 begann Cayley am Lincoln’s Inn in London eine juristische Ausbildung. 1849 wurde er zur Anwaltschaft zugelassen und arbeitete danach 14 Jahre vor allem im Grundstücksrecht. Seine Mathematik betrieb er in den Abendstunden. Dort traf er den Mathematiker James Joseph Sylvester, der ebenfalls Jurist war. Die beiden sprachen mitten im Arbeitstag über tiefe mathematische Fragen und entwickelten gemeinsam die Invariantentheorie, eine Lehre davon, was sich bei Umformungen nicht ändert.

Über seinen Beruf soll Cayley gescherzt haben, das Ziel des Rechts sei, eine Sache mit möglichst vielen Worten zu sagen, das der Mathematik dagegen, sie mit möglichst wenigen zu sagen. 1863 wechselte er auf die neu eingerichtete Sadleirian-Professur für reine Mathematik in Cambridge. Sie brachte viel weniger Geld ein als sein Anwaltsberuf, doch Cayley war froh, sich nur noch der Mathematik widmen zu können. Im selben Jahr heiratete er. 1882 lehrte er einige Monate an der Johns Hopkins University in Baltimore, wo Sylvester inzwischen Professor war.

Matrizen: Rechnen mit Zahlentabellen

Rechenregeln für Tabellen

Eine Matrix ist eine rechteckige Tabelle von Zahlen. Das Wort prägte Sylvester 1850. Cayley erkannte, dass man solche Tabellen als eigene Objekte betrachten und mit ihnen rechnen kann. In seiner Arbeit von 1858 definierte er Summe und Produkt von Matrizen und die Umkehrung. Matrizen verhalten sich dabei fast wie Zahlen, mit einer wichtigen Ausnahme: Bei der Multiplikation kommt es auf die Reihenfolge an.

Matrizen sind heute ein zentrales Werkzeug, um lineare Gleichungssysteme, Drehungen und Verschiebungen in der Computergrafik oder Datenmengen zu behandeln.

Der Satz von Cayley-Hamilton

Zu jeder quadratischen Matrix A gehört ein Polynom, das charakteristische Polynom. Für eine 2×2-Matrix mit den Einträgen a, b, c, d lautet es λ² − (a + d)λ + (ad − bc). Der Satz sagt: Setzt man die Matrix selbst in dieses Polynom ein, kommt die Nullmatrix heraus.

Das lässt sich mit etwas Rechnung allgemein nachprüfen: Es ist A² = ((a² + bc, ab + bd), (ac + cd, bc + d²)) und (a + d) · A = ((a² + ad, ab + bd), (ac + cd, ad + d²)). Die Differenz der beiden hat auf der Diagonalen den Wert bc − ad und sonst Nullen, also −(ad − bc) · E. Damit ist die Gleichung erfüllt.

Cayley formulierte den Satz 1858. Er rechnete ihn für 2×2-Matrizen vor und prüfte ihn für 3×3-Matrizen nach, einen allgemeinen Beweis hielt er für überflüssig. Hamilton hatte 1853 schon einen Sonderfall für Quaternionen gezeigt. Den ersten vollständigen Beweis für beliebig große Matrizen lieferte Ferdinand Georg Frobenius 1878. Der Name erinnert also an zwei Wegbereiter; den vollständigen Beweis lieferte ein anderer.

Gruppen: der abstrakte Blick

In einer Arbeit von 1854 definierte Cayley den Begriff einer abstrakten Gruppe: eine Menge mit einer Verknüpfung, die bestimmten Regeln folgt, unabhängig davon, ob es sich um Zahlen, Drehungen oder Vertauschungen handelt. Er bemerkte, dass auch Matrizen und Quaternionen Gruppen bilden. Zuvor hatte Évariste Galois mit Gruppen von Vertauschungen gearbeitet, aber eine allgemeine Definition fehlte noch.

Cayley beschrieb Gruppen mit einer Verknüpfungstafel, die heute Cayley-Tafel heißt. Als Beispiel die Zahlen 0, 1, 2 mit Addition modulo 3 (Reste beim Teilen durch 3):

In jeder Zeile und Spalte kommt jedes Element genau einmal vor. Darauf beruht der Satz von Cayley: Jede endliche Gruppe lässt sich als Gruppe von Vertauschungen auffassen. In der Tabelle entspricht die Zeile der „1“ der Vertauschung 0 → 1, 1 → 2, 2 → 0.

Weitere Ergebnisse

• Bäume: Die Cayley-Formel besagt, dass es nⁿ⁻² verschiedene Bäume (Netze ohne Kreise) mit n nummerierten Punkten gibt. Für n = 4 sind das 4² = 16. Cayley benutzte solche Bäume auch, um chemische Verbindungen abzuzählen.
• Oktaven: Die Cayley-Zahlen mit acht Bestandteilen entdeckte er 1845, unabhängig von dem Iren John T. Graves.
• Geometrie: Cayleys Ideen zu Abständen in der projektiven Geometrie führten zu den Modellen, die später Felix Klein ausbaute.
• Invarianten: Mit Sylvester begründete er eine Theorie, in der David Hilbert um 1890 mit seinem Basissatz einen Durchbruch erzielte.

Zeitleiste: Arthur Cayleys Leben

1. 1821 Geburt am 16. August in Richmond (Surrey)
2. 1838 Beginn des Studiums am Trinity College, Cambridge
3. 1842 Senior Wrangler und erster Smith-Preis
4. 1849 Zulassung als Anwalt in London
5. 1854 Definition der abstrakten Gruppe
6. 1858 A Memoir on the Theory of Matrices
7. 1863 Sadleirian-Professor in Cambridge; Heirat
8. 1889 Beginn der gesammelten Werke (13 Bände)
9. 1895 Tod am 26. Januar in Cambridge

Bedeutung heute

Cayleys Matrizen stecken in fast jeder Software, die Daten verarbeitet: in 3D-Spielen, in der Bildbearbeitung, in Suchmaschinen und beim Training künstlicher Intelligenz. Der Gruppenbegriff ist eines der zentralen Konzepte der modernen Algebra und der Kryptografie. Cayley starb am 26. Januar 1895 in seinem Haus in Cambridge nach langer Krankheit; er war ein leidenschaftlicher Bergsteiger gewesen. Mehr zur Epoche im Artikel zur Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Wann lebte Arthur Cayley?

Arthur Cayley wurde am 16. August 1821 in Richmond (Surrey) geboren und starb am 26. Januar 1895 in Cambridge.

Was besagt der Satz von Cayley-Hamilton?

Jede quadratische Matrix erfüllt ihre eigene charakteristische Gleichung. Bei einer 2×2-Matrix A heißt das: A² minus Spur mal A plus Determinante mal Einheitsmatrix ergibt die Nullmatrix.

War Cayley Mathematiker oder Anwalt?

Beides. Von 1849 bis 1863 arbeitete er als Anwalt und schrieb nebenher rund 250 mathematische Aufsätze. 1863 wurde er Professor für reine Mathematik in Cambridge.

Quellen und weiterführende Literatur

• Tony Crilly: Arthur Cayley. Mathematician Laureate of the Victorian Age, Johns Hopkins University Press, Baltimore 2006.
• The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley, 13 Bände, Cambridge University Press, Cambridge 1889–1898.
• MacTutor History of Mathematics: Arthur Cayley (englisch)
• Wikipedia: Arthur Cayley (deutsch)