Sophus Lie

Sophus Lie (1842–1899) war ein norwegischer Mathematiker, der eine Sprache für stufenlose Symmetrien erfand. Ein Kreis zum Beispiel sieht nach jeder noch so kleinen Drehung genau gleich aus. Solche Veränderungen, die man beliebig fein dosieren kann, untersuchte Lie systematisch. Die Gesamtheit aller Drehungen einer Sorte (oder aller Verschiebungen, aller Streckungen) nennt man heute eine Lie-Gruppe. Die dazugehörigen „winzigen Schritte“ bilden eine Lie-Algebra.

Lie lehrte in Christiania, dem heutigen Oslo, und in Leipzig. Zur Mathematik fand er erst mit Mitte zwanzig, doch dann baute er in wenigen Jahren eine Theorie auf, die zu den Grundpfeilern der modernen Mathematik zählt. Sie hilft, Differentialgleichungen zu lösen (Gleichungen, die beschreiben, wie sich etwas verändert), und sie ist in der Physik unverzichtbar, vom Drehimpuls bis zu den Kräften zwischen Elementarteilchen.

Vom Pastorensohn zum Mathematiker

Marius Sophus Lie wurde am 17. Dezember 1842 in Nordfjordeid an der norwegischen Westküste geboren. Sein Vater Johann Lie war Pastor und zog 1851 mit der Familie nach Moss, südlich von Christiania. Sophus studierte von 1859 bis 1865 Naturwissenschaften an der Universität Christiania. Mathematik war damals nur ein Fach unter vielen; erst 1868 wandte er sich ihr ganz zu.

1869 erschien Lies erste mathematische Arbeit. Sie brachte ihm ein Reisestipendium ein, mit dem er nach Göttingen, Berlin und Paris fuhr. In Berlin freundete er sich mit dem sechs Jahre jüngeren Felix Klein an. Im Frühjahr 1870 arbeiteten die beiden in Paris zusammen und lernten dort Camille Jordan kennen, der ihnen zeigte, wie wichtig die Gruppentheorie für die Geometrie ist. Eine Gruppe ist dabei eine Menge von Operationen, die man hintereinander ausführen kann, ohne den Rahmen zu verlassen. Dieser Gedanke ließ Lie nicht mehr los.

Christiania, Leipzig und der Bruch mit Klein

1872 schuf der norwegische Staat für Lie eine eigene Professur in Christiania. Er heiratete 1874 Anna Birk, mit der er drei Kinder hatte. Gemeinsam mit dem Mathematiker Ludwig Sylow gab er bis 1881 die gesammelten Werke von Niels Henrik Abel heraus. In den Jahren 1873 und 1874 entwickelte er den Kern seiner Theorie der stetigen Transformationsgruppen.

1886 folgte Lie dem Ruf nach Leipzig, wo er die Stelle von Felix Klein übernahm. Dort arbeitete der junge Friedrich Engel mit ihm zusammen und schrieb Lies Gedanken in ein großes Werk um: die drei Bände der Theorie der Transformationsgruppen (1888–1893). 1889 erlitt Lie einen Nervenzusammenbruch, von dem er sich nur teilweise erholte. Die Freundschaft mit Klein zerbrach 1892 im Streit darüber, wer welche Idee zuerst gehabt hatte, und im Vorwort des dritten Bandes griff Lie seinen früheren Freund öffentlich an.

Auf Betreiben prominenter Landsleute wie des Polarforschers Fridtjof Nansen kehrte Lie 1898, schon schwer krank, nach Christiania zurück. Er starb am 18. Februar 1899 an perniziöser Anämie, einer schweren Form der Blutarmut.

Die Grundidee: Symmetrien, die sich stufenlos ändern

Eine Symmetrie ist eine Veränderung, nach der alles wieder so aussieht wie vorher. Ein Quadrat hat davon nur acht: vier Drehungen (um 0°, 90°, 180° und 270°) und vier Spiegelungen. Ein Kreis dagegen hat unendlich viele, denn er sieht nach jeder Drehung um einen beliebigen Winkel gleich aus. Das Besondere: Man kann den Winkel stufenlos verändern, von „gar nicht gedreht“ bis zu einer winzigen Drehung und weiter.

Alle Drehungen der Ebene um einen festen Punkt bilden zusammen mit dem „Nichtstun“ (Drehung um 0°) eine Gruppe: Zwei Drehungen hintereinander ergeben wieder eine Drehung, und jede lässt sich rückgängig machen. Lie fragte, was man über solche Gruppen sagen kann, wenn ihre Elemente stufenlos wählbar sind. Seine Antwort: Es genügt, die ganz kleinen Schritte nahe am „Nichtstun“ zu verstehen. Aus ihnen lässt sich die ganze Gruppe wieder aufbauen.

Für die Drehung in der Ebene lässt sich das genau aufschreiben. Eine Drehung um den Winkel θ wird durch eine Matrix beschrieben:

Die Matrix J ist der „winzige Schritt“: Sie beschreibt eine Drehung, die gerade erst beginnt. Die Exponentialfunktion verwandelt diesen Anfangsschritt in die fertige Drehung. Alle Anfangsschritte zusammen bilden die Lie-Algebra der Gruppe. Sie ist ein viel einfacherer Gegenstand als die Gruppe selbst, denn man kann mit ihr fast wie mit Vektoren rechnen. Eine Rechenart kommt dazu, die Lie-Klammer $[A,B]=AB-BA$. Sie misst, wie stark es auf die Reihenfolge ankommt, in der man zwei winzige Schritte ausführt.

Differentialgleichungen mit Symmetrie lösen

Lies eigentliches Ziel war ein anderes: Er wollte für Differentialgleichungen leisten, was Évariste Galois für algebraische Gleichungen geleistet hatte. Galois hatte gezeigt, dass die Lösbarkeit einer Gleichung wie x⁵ − x − 1 = 0 an den Symmetrien ihrer Lösungen hängt. Lie wollte erkennen, wann und wie sich eine Differentialgleichung lösen lässt, indem man die Symmetrien ihrer Lösungskurven untersucht.

Dahinter steckt eine einfache Beobachtung: Ändert eine Symmetrie die Gleichung nicht, so verwandelt sie jede Lösung wieder in eine Lösung. Das spart Arbeit. Lie zeigte, dass viele Lösungstricks, die in Lehrbüchern einzeln vorkommen, in Wahrheit von einer solchen versteckten Symmetrie herrühren.

Lie führte auch die Berührungstransformationen ein, die Kurven mit gemeinsamer Tangente wieder in solche Kurven überführen. Sie spielen bis heute in der Mechanik eine Rolle.

Lie-Gruppen in der Physik

Lie selbst dachte an Geometrie und Differentialgleichungen. Doch im 20. Jahrhundert wurde seine Theorie zur Sprache der Physik. Die Drehungen im Raum bilden eine Lie-Gruppe, ebenso die Lorentz-Transformationen der Relativitätstheorie, die Raum und Zeit mischen (siehe Hermann Minkowski). In der Quantenphysik beschreibt eine Lie-Gruppe namens SU(2) den Spin von Teilchen, und die Gruppe SU(3) ordnet die Quarks, aus denen Protonen und Neutronen bestehen. Das Standardmodell der Teilchenphysik beruht insgesamt auf dem Zusammenspiel dreier Lie-Gruppen.

Dazu passt der Satz, den Emmy Noether 1918 bewies: Zu jeder stufenlosen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.

Zeitleiste: Sophus Lie

1. 1842 Geburt in Nordfjordeid (17. Dezember)
2. 1859–1865 Studium der Naturwissenschaften in Christiania
3. 1869 Erste mathematische Veröffentlichung, Reisestipendium nach Göttingen, Berlin und Paris
4. 1870 Arbeit mit Felix Klein in Paris; Festnahme als vermeintlicher Spion
5. 1872 Eigens geschaffene Professur in Christiania
6. 1886 Wechsel nach Leipzig als Nachfolger Kleins
7. 1888–1893 Theorie der Transformationsgruppen (mit Friedrich Engel)
8. 1898 Rückkehr nach Christiania
9. 1899 Tod in Kristiania (18. Februar)

Bedeutung heute

Lie-Gruppen gehören heute zum Handwerkszeug fast jeder Disziplin, die mit Symmetrie zu tun hat. Der Gruppenbegriff, den Felix Klein in seinem Erlanger Programm zum Prinzip der Geometrie erhob, erhielt durch Lie festen Boden. In Robotik und Computergrafik beschreiben Lie-Gruppen die Drehungen von Gelenken und Kameras, und in der Teilchenphysik ist die Gruppentheorie nicht wegzudenken.

Auch Differentialgleichungen profitieren weiter von Lies Idee: Computeralgebrasysteme suchen heute automatisch nach Symmetrien einer Gleichung, um sie zu vereinfachen. Lies Beitrag bleibt ein Grundstein der Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Was ist eine Lie-Gruppe?

Eine Lie-Gruppe ist eine Gruppe von Symmetrien, deren Elemente sich stufenlos verändern lassen, wie die Drehungen eines Kreises um beliebige Winkel. Man kann in ihr rechnen wie in der Analysis.

Wie spricht man „Lie“ aus?

Der Name wird mit langem i gesprochen, ungefähr „Lii“. Mit dem englischen Wort „lie“ (Lüge) hat er nichts zu tun.

Quellen und weiterführende Literatur

• Sophus Lie, Friedrich Engel: Theorie der Transformationsgruppen, 3 Bände, Teubner, Leipzig 1888–1893.
• Thomas Hawkins: Emergence of the Theory of Lie Groups. An Essay in the History of Mathematics 1869–1926, Springer, New York 2000.
• MacTutor History of Mathematics: Sophus Lie (englisch)
• Wikipedia: Sophus Lie