Differenzengleichungen: Fixpunkt und Lösung erklärt

Eine Differenzengleichung beschreibt, wie sich eine Größe von Schritt zu Schritt verändert: Aus dem Wert von heute folgt der Wert von morgen. Du kennst das vom Sparbuch, vom Medikamentenspiegel im Körper oder vom Fischbestand in einem See. Die Änderung pro Schritt ist eine Differenz, nämlich $x_{n + 1} - x_{n}$ , daher der Name.

Diese Seite schließt die Lücke zwischen vier Nachbarseiten. Die Formeln der vier Wachstumsmodelle stehen bei den Wachstumsmodellen, rekursiv gegebene Folgen bei Folgen und Grenzwerte, Rekursionen höherer Ordnung im Studium bei den Rekursionen und erzeugenden Funktionen, und die Version mit stetiger Zeit bei den Differentialgleichungen. Hier lernst du die Regel hinter den Modellen kennen und löst die wichtigste Gleichung vollständig: $x_{n + 1} = a \cdot x_{n} + b$ .

Was ist eine Differenzengleichung?

Stell dir ein Sparkonto mit 2 % Zinsen vor. Bezeichnet $K_{n}$ den Kontostand nach $n$ Jahren, dann kommen in jedem Jahr $0,02 \cdot K_{n}$ dazu: $K_{n + 1} = K_{n} + 0,02 \cdot K_{n}$ . Das ist eine Differenzengleichung. Sie legt fest, um wie viel sich der Wert in einem Schritt ändert. Der griechische Buchstabe Δ (Delta) steht für „Unterschied“, deshalb schreibt man die Änderung pro Schritt als $Δ x_{n} = x_{n + 1} - x_{n}$ .

Die Gleichung $x_{n + 1} - x_{n} = 0,02 \cdot x_{n}$ sagt dasselbe wie $x_{n + 1} = 1,02 \cdot x_{n}$ , nur aus einer anderen Sicht: einmal die Änderung, einmal der neue Wert. Mit einem Startwert $x_{0}$ ist dann die ganze Folge $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ bestimmt. Eine Differenzengleichung ist also eine rekursive Folge, bei der du auf die Änderung schaust. Teilst du die Änderung durch die Schrittweite (hier 1 Jahr), erhältst du die mittlere Änderungsrate, den Differenzenquotienten.

Die vier Wachstumsmodelle als Differenzengleichung

Auf der Seite Wachstumsmodelle stehen die vier Modelle als Formeln für den Bestand. Hier siehst du die Regel dahinter. Der Unterschied liegt allein darin, wovon die Änderung pro Schritt abhängt.

Linear: Die Änderung ist in jedem Schritt gleich, $x_{n + 1} - x_{n} = d$ . Lösung: $x_{n} = x_{0} + n \cdot d$ .
Exponentiell: Die Änderung ist proportional zum Bestand, $x_{n + 1} - x_{n} = p \cdot x_{n}$ , also $x_{n + 1} = q \cdot x_{n}$ mit $q = 1 + p$ . Lösung: $x_{n} = x_{0} \cdot q^{n}$ .
Beschränkt: Die Änderung ist proportional zum Abstand zur Grenze $S$ , $x_{n + 1} - x_{n} = k \cdot (S - x_{n})$ . Lösung: $x_{n} = S - (S - x_{0}) \cdot (1 - k)^{n}$ .
Logistisch: Die Änderung ist proportional zum Bestand und zum freien Platz, $x_{n + 1} - x_{n} = r \cdot x_{n} \cdot (1 - \frac{x_{n}}{S})$ . Eine einfache Formel gibt es nicht, mehr dazu im Ausblick.

Löst du die Gleichungen nach $x_{n + 1}$ auf, haben die ersten drei Modelle dieselbe Form $x_{n + 1} = a \cdot x_{n} + b$ : Linear ist $a = 1$ und $b = d$ , exponentiell ist $a = q$ und $b = 0$ , beschränkt ist $a = 1 - k$ und $b = k \cdot S$ . In der Schreibweise der Wachstumsmodelle ist der Faktor beim beschränkten Wachstum also $q = 1 - k$ . Weil dieselbe Gleichung in drei Modellen steckt, lohnt sich ein genauer Blick darauf.

Die lineare Differenzengleichung

Die wichtigste Differenzengleichung hat die Form

x_{n + 1} = a \cdot x_{n} + b .

Zwei Zahlen legen die Regel fest. Der Faktor $a$ sagt, welcher Anteil vom alten Wert bleibt: Bei 20 % Abbau ist $a = 0,8$ , bei 10 % Zuwachs ist $a = 1,1$ . Die Konstante $b$ sagt, was in jedem Schritt fest dazukommt oder abgeht, etwa eine Dosis, eine Rate oder ein Fang. „Von der Menge bleiben 80 %, dazu kommen jeden Tag 20“ ergibt $x_{n + 1} = 0,8 \cdot x_{n} + 20$ .

Beispiel: Die ersten Glieder

Mit $x_{0} = 20$ rechnest du $x_{1} = 0,8 \cdot 20 + 20 = 36$ , $x_{2} = 0,8 \cdot 36 + 20 = 48,8$ und $x_{3} = 0,8 \cdot 48,8 + 20 = 59,04$ . Die Änderung pro Schritt wird jedes Mal kleiner, genau auf das 0,8-Fache, und der Wert nähert sich 100.

Die Folge x(n+1) = 0,8 · x(n) + 20 mit Startwert 20 (auf zwei Stellen gerundet)
n	$x_{n}$	$x_{n + 1} - x_{n}$
0	20	16
1	36	12,8
2	48,8	10,24
3	59,04	8,19
4	67,23	6,55
5	73,79	5,24
6	79,03	4,19

Fixpunkt: das Gleichgewicht

Wohin läuft die Folge? Ein Wert, der sich im nächsten Schritt nicht mehr ändert, heißt Fixpunkt oder Gleichgewicht und wird $x^{*}$ geschrieben. Für ihn gilt $x_{n + 1} = x_{n} = x^{*}$ , in die Regel eingesetzt also $x^{*} = a \cdot x^{*} + b$ . Bringst du $a \cdot x^{*}$ auf die linke Seite, folgt $x^{*} \cdot (1 - a) = b$ , und das lässt sich nach $x^{*}$ auflösen.

Die explizite Lösung

Mit der Regel musst du alle Zwischenwerte ausrechnen. Eine explizite Formel springt dagegen direkt zu $x_{n}$ . Der Trick: Du betrachtest den Abstand zum Fixpunkt $d_{n} = x_{n} - x^{*}$ . Dann gilt

d_{n + 1} = x_{n + 1} - x^{*} = (a \cdot x_{n} + b) - (a \cdot x^{*} + b) = a \cdot (x_{n} - x^{*}) = a \cdot d_{n} .

Der Abstand wird in jedem Schritt mit $a$ malgenommen. Das ist eine geometrische Folge mit $d_{n} = a^{n} \cdot d_{0}$ , und nach $x_{n}$ aufgelöst entsteht die Lösung.

Die Folge x_n+1 = 0,8 · x_n + 20 mit zwei Startwerten. Beide nähern sich dem Fixpunkt x* = 100, der Abstand zu ihm schrumpft in jedem Schritt auf das 0,8-Fache.

Verhalten je nach a

Aus der expliziten Lösung liest du das Langzeitverhalten ab, denn es hängt nur an $a^{n}$ . Entscheidend ist, wie sich der Abstand zum Fixpunkt entwickelt: Wird er kleiner oder größer, und wechselt er das Vorzeichen?

Verhalten der Lösung je nach a (der Startwert ist nicht der Fixpunkt)
Faktor $a$	Verhalten
$a > 1$	Der Abstand zum Fixpunkt wird größer, die Folge läuft vom Fixpunkt weg und wächst oder fällt über alle Grenzen.
$a = 1$	Für $b \neq 0$ gibt es keinen Fixpunkt: Die Folge wächst oder fällt gleichmäßig um $b$ pro Schritt (linear).
$0 < a < 1$	Der Abstand wird kleiner: Die Folge nähert sich dem Fixpunkt von einer Seite (Konvergenz).
$- 1 < a < 0$	Der Abstand wird kleiner und wechselt die Seite: Die Folge schwingt um den Fixpunkt und nähert sich ihm (Konvergenz).
$a = - 1$	Der Abstand bleibt gleich groß und wechselt die Seite: Die Folge springt zwischen $x_{0}$ und $2 \cdot x^{*} - x_{0}$ hin und her.
$a < - 1$	Der Abstand wird größer und wechselt die Seite: Die Folge schwingt immer weiter auf.

Das Verhalten je nach a. Gestrichelt ist der Fixpunkt x*, die Punkte sind x₀ bis x₆. Zahlen sind nicht beschriftet, es geht nur um die Form.

Anwendungen

Immer wenn ein Bestand in festen Schritten wächst oder schrumpft und dabei etwas Festes dazukommt oder abgeht, steckt die lineare Differenzengleichung $x_{n + 1} = a \cdot x_{n} + b$ dahinter. Vier Beispiele zeigen, wie du die Zahlen aus dem Text in $a$ und $b$ übersetzt.

Medikament im Körper

Nimmst du regelmäßig ein Medikament, baut der Körper zwischen zwei Einnahmen einen Teil davon ab, und mit der nächsten Dosis kommt neuer Wirkstoff dazu. Der Faktor $a$ ist der Anteil, der nach dem Abbau bleibt, die Konstante $b$ ist die Dosis.

Kredit mit monatlicher Rate

Bei einem Kredit wachsen die Schulden durch die Zinsen, und jede Rate verringert sie. Mit dem Monatszins $i$ und der Rate $R$ gilt $S_{n + 1} = (1 + i) \cdot S_{n} - R$ . Die Rate ist hier ein negatives $b$ . Dieselbe Aufgabe löst die Finanzmathematik mit der Summe einer geometrischen Reihe, siehe Annuität und Restschuld bei der Finanzmathematik. Den Zinseszins erklärt das kaufmännische Rechnen, die Grundlagen die Zinsrechnung.

Beispiel: 10.000 € Kredit

Du leihst dir 10.000 € zu 6 % Jahreszins und zahlst jeden Monat 300 € zurück. Vereinfacht rechnest du mit dem Monatszins 6 % : 12 = 0,5 %, also $a = 1,005$ . $S_{n}$ sei die Restschuld nach $n$ Monaten: $S_{n + 1} = 1,005 \cdot S_{n} - 300$ mit $S_{0} = 10.000$ .

Fixpunkt: $S^{*} = \frac{- 300}{1 - 1,005} = 60.000$ €. Bei dieser Schuld wären die Zinsen (0,5 % von 60.000 €) genau 300 €, also so hoch wie die Rate, und die Schuld bliebe gleich.
Lösung: Du startest weit unter dem Fixpunkt, deshalb sinkt die Schuld: $S_{n} = 60.000 - 50.000 \cdot {1,005}^{n}$ .
Laufzeit: $S_{n} = 0$ gilt für ${1,005}^{n} = 1,2$ , also $n = \frac{\ln 1,2}{\ln 1,005} \approx 36,6$ . Nach 36 Monaten sind noch etwa 165,97 € offen, im 37. Monat fällt eine Schlussrate von etwa 166,80 € an.
Gegenprobe: Für genau 36 Monate bräuchtest du nach der Annuitätenformel etwa 304,22 € pro Monat. 300 € sind etwas weniger, das passt zu 36,6 Monaten.

Echte Kredite rechnen oft mit Effektivzins und Gebühren. Das Modell zeigt das Prinzip.

Fischbestand mit Fang

In einem See wächst der Bestand jedes Jahr um einen Anteil, und die Fischer entnehmen eine feste Menge. Der Fang ist ein negatives $b$ .

Population mit Grenze

Hat ein Lebensraum nur begrenzt Platz oder Futter, bremst das die Vermehrung. Dann ist die Änderung pro Schritt proportional zum Bestand und zum noch freien Platz:

B_{n + 1} = B_{n} + r \cdot B_{n} \cdot (1 - \frac{B_{n}}{S}) .

Das ist keine lineare Gleichung mehr, denn $B_{n}$ wird mit sich selbst multipliziert. Du rechnest sie aber genauso Schritt für Schritt, am besten in einer Tabellenkalkulation. Die Fixpunkte sind $B = 0$ und $B = S$ , dort ist die Änderung null.

Beispiel: Hasen auf einer Insel

Auf einer Insel finden höchstens 800 Hasen Futter, anfangs leben dort 40. Mit $r = 0,5$ ist $B_{n + 1} = B_{n} + 0,5 \cdot B_{n} \cdot (1 - \frac{B_{n}}{800})$ . Der erste Schritt ergibt $B_{1} = 40 + 0,5 \cdot 40 \cdot (1 - \frac{40}{800}) = 40 + 20 \cdot 0,95 = 59$ .

Hasenbestand nach n Jahren (auf ganze Tiere gerundet)
n	Bestand
0	40
2	86
4	178
6	332
8	528
10	688
12	766

Anfangs wächst der Bestand fast exponentiell, mit etwa dem Faktor 1,5 pro Jahr. Dann bremst die Grenze: Die Zunahme ist am größten, wenn der Bestand bei etwa 400 bis 530 liegt (rund 100 Hasen pro Jahr), danach wird sie kleiner. Das Ergebnis ist die S-Kurve des logistischen Wachstums, hier mit Schritten von einem Jahr.

Rechnen mit der Tabellenkalkulation

Differenzengleichungen sind wie gemacht für Excel, LibreOffice Calc oder Google Tabellen: Du schreibst die Regel einmal auf und kopierst sie nach unten. So siehst du in Sekunden, wohin die Folge läuft.

Die Regel x(n+1) = 0,8 · x(n) + 20 in einer Spalte
Zelle	Eingabe	Ergebnis
A1	`20`	20 (Startwert $x_{0}$ )
A2	`=0,8*A1+20`	36 ( $x_{1}$ )
A3	`=0,8*A2+20`	48,8 ( $x_{2}$ )
A4	`=0,8*A3+20`	59,04 ( $x_{3}$ )

Tippe den Startwert in A1.
Tippe in A2 die Regel =0,8*A1+20. Das Gleichheitszeichen am Anfang sagt der Tabelle, dass sie rechnen soll, das Malzeichen ist *, das Dezimalkomma ein Komma.
Markiere A2 und ziehe am kleinen Quadrat unten rechts nach unten. Die Tabelle macht aus A1 automatisch A2, A3 und so weiter, so entstehen alle weiteren Glieder.

Stehen $a$ und $b$ in eigenen Zellen, zum Beispiel $a$ in D1 und $b$ in D2, schreibst du in A2 die Formel =$D$1*A1+$D$2. Die Dollarzeichen halten die Zellen beim Kopieren fest. Du kannst dann $a$ und $b$ ändern und sofort das neue Verhalten sehen. Die Änderung pro Schritt bekommst du mit =A2-A1 in B1. Bei englischer Spracheinstellung schreibst du den Dezimalpunkt statt des Kommas, also =0.8*A1+20.

Probiere es aus: Mit $a = 1,2$ läuft die Folge weg, mit $a = - 0,5$ schwingt sie, mit $a = - 1,2$ schwingt sie auf. Rekursive Folgen rechnet auch der Folgenrechner, Hinweise zu Taschenrechner und GeoGebra stehen bei Taschenrechner und GeoGebra.

Von der Differenzengleichung zur Differentialgleichung

Bisher war ein Schritt eine feste Zeit, etwa ein Tag. Verkürzt du die Schrittweite auf $h$ , dann ändert sich der Wert in dieser Zeit um $x (t + h) - x (t)$ . Teilst du durch $h$ , erhältst du den Differenzenquotienten. Bei einem Wachstum, das nur vom aktuellen Wert abhängt, schreibst du

\frac{x (t + h) - x (t)}{h} = f (x (t)) .

Lässt du die Schrittweite $h$ gegen 0 gehen, wird die linke Seite zur Ableitung $x' (t)$ , und es entsteht die Differentialgleichung $x' (t) = f (x (t))$ . Die Differentialgleichung ist also der Grenzfall der Differenzengleichung für Schrittweite gegen 0.

Den Weg zurück beschreitet das Euler-Verfahren: Aus $x' = f (x)$ macht es die Differenzengleichung $x_{n + 1} = x_{n} + h \cdot f (x_{n})$ mit der Schrittweite $h$ . Wie du damit Differentialgleichungen näherungsweise löst, steht bei Numerisch lösen: das Euler-Verfahren, die stetigen Gegenstücke der Wachstumsmodelle bei Wachstum und Zerfall und Logistisches Wachstum.

Beispiel: Schritte verkleinern

Für $x' = 0,5 \cdot x$ mit $x (0) = 1$ lautet der Euler-Schritt $x_{n + 1} = (1 + 0,5 \cdot h) \cdot x_{n}$ . Gesucht ist $x (1)$ nach $\frac{1}{h}$ Schritten.

Euler-Verfahren für x′ = 0,5 · x bis zur Stelle 1
$h$	Schritte	$x (1)$
1	1	1,5
0,5	2	1,5625
0,25	4	1,6018
0,1	10	1,6289
0,01	100	1,6467

Die Werte nähern sich dem exakten Wert $e^{0,5} \approx 1,6487$ der Differentialgleichung. Dieselbe Zahl 0,5 bedeutet beim Faktor pro Schritt etwas anderes als bei der stetigen Rate, mehr dazu in den Häufigen Fragen zu den Wachstumsmodellen.

Ausblick: Wenn das logistische Modell chaotisch wird

Das Modell aus dem Abschnitt Population mit Grenze sieht harmlos aus, kann aber bei großem $r$ überraschend reagieren. Rechnest du den Bestand in Anteile der Grenze um (mit $x = \frac{r \cdot B}{(1 + r) \cdot S}$ ), entsteht die Standardform der logistischen Gleichung

x_{n + 1} = R \cdot x_{n} \cdot (1 - x_{n}) m i t R = 1 + r u n d 0 \leq x_{n} \leq 1 .

Der Fixpunkt ist $x^{*} = 1 - \frac{1}{R}$ . Für $1 < R < 3$ ist er stabil, die Folge läuft zu ihm. Ab $R = 3$ wird er instabil, es entstehen Zyklen, die sich mit wachsendem $R$ immer wieder verdoppeln, und bei etwa $R \approx 3,57$ beginnt das Chaos.

Die Folge x(n+1) = R · x(n) · (1 − x(n)) mit Startwert 0,2 für drei Werte von R (auf drei Stellen gerundet)
n	$R = 2,5$	$R = 3,2$	$R = 3,9$
0	0,200	0,200	0,200
1	0,400	0,512	0,624
2	0,600	0,800	0,915
3	0,600	0,513	0,303
4	0,600	0,799	0,824
5	0,600	0,513	0,566
6	0,600	0,799	0,958
7	0,600	0,513	0,156
8	0,600	0,799	0,514
9	0,600	0,513	0,974

Für $R = 2,5$ landet die Folge nach zwei Schritten im Fixpunkt 0,6. Für $R = 3,2$ springt sie zwischen etwa 0,513 und 0,799 hin und her, das ist ein Zyklus der Länge 2. Für $R = 3,9$ ist kein Muster mehr zu erkennen: Die Folge ist chaotisch. Das heißt nicht, dass Zufall im Spiel ist, denn jeder Wert folgt genau aus dem vorigen. Aber winzige Unterschiede im Startwert wachsen so schnell, dass sich das Verhalten auf lange Sicht nicht vorhersagen lässt.

Der Ökologe Robert May machte 1976 in der Zeitschrift Nature auf solche einfachen Gleichungen aufmerksam. Er zeigte, dass sie je nach Parameter alles liefern können: ein stabiles Gleichgewicht, Zyklen und scheinbar zufällige Schwankungen. Ob und wie stark echte Tierbestände chaotisch schwanken, ist damit nicht gesagt. Reale Bestände hängen von vielen Einflüssen ab, und das Modell ist bewusst einfach. Es zeigt vor allem, was schon eine einzige nichtlineare Regel bewirken kann.

Die zugehörige Differentialgleichung $y' = r \cdot y \cdot (1 - \frac{y}{S})$ mit stetiger Zeit verhält sich dagegen immer glatt: Ihre Lösung ist die S-Kurve ohne Schwingen. Die Schrittweite macht den Unterschied. Das ist auch ein Grund, warum das Euler-Verfahren bei zu großer Schrittweite völlig falsche Werte liefern kann: Für diese Gleichung ist es genau das diskrete Modell mit $r$ mal Schrittweite als Parameter. Verwandt ist die Iteration der Mandelbrot-Menge, siehe Fraktale. Chaos bei Differentialgleichungen entdeckte Edward Lorenz 1963.

In Österreich: Grundkompetenz AN 1.4

In Österreich gehört AN 1.4 zu den Grundkompetenzen der Analysis: Entwicklungen mit Differenzengleichungen beschreiben und im Kontext deuten. Seit dem Haupttermin 2021/22 wird sie in der Zentralmatura an der AHS nicht mehr geprüft. Die Liste aller Grundkompetenzen mit den passenden Lernseiten steht bei AN: Analysis, den Überblick über den Lehrplan findest du auf der Seite Lehrplan Mathematik Österreich. Ob und wie ausführlich deine Schule das Thema behandelt, sagt dir deine Lehrkraft. Der Stoff steckt auch ohne dieses Stichwort in rekursiv gegebenen Folgen und in den Wachstumsmodellen, siehe Folgen und Grenzwerte und Wachstumsmodelle.

Typische Fehler

Übungen

Immer neue Aufgaben mit Lösungen gibt es auf dem Blatt Differenzengleichungen.

Geschichte: von den Kaninchen zum Chaos

1202 Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, stellt im Liber abaci die Kaninchenaufgabe (nach der üblichen Datierung des Buches). Ihre Regel $x_{n + 2} = x_{n + 1} + x_{n}$ ist eine Differenzengleichung zweiter Ordnung.
1798 Thomas Robert Malthus veröffentlicht anonym seinen Essay on the Principle of Population: Die Bevölkerung wachse geometrisch, die Nahrung nur arithmetisch. Das ist der Unterschied zwischen $x_{n + 1} = q \cdot x_{n}$ und $x_{n + 1} = x_{n} + d$ .
1838 Pierre-François Verhulst veröffentlicht die Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement, ein Modell mit bremsender Grenze. In seiner Arbeit von 1845 nennt er die Kurve „logistisch“. Er rechnet mit stetiger Zeit, also mit einer Differentialgleichung.
1975 Tien-Yien Li und James A. Yorke prägen in dem Aufsatz Period Three Implies Chaos den mathematischen Begriff Chaos.
1976 Robert M. May zeigt in Nature, wie kompliziert das Verhalten einfacher Differenzengleichungen wie der logistischen Gleichung sein kann.

Wie Abraham de Moivre und Pierre-Simon Laplace Rekursionen systematisch lösten, steht in der Geschichte der Rekursionen. Die Geschichte des Euler-Verfahrens, das Differentialgleichungen in Differenzengleichungen verwandelt, steht bei den Differentialgleichungen.

Selbstcheck: Das kann ich jetzt

Ich-kann-Bogen: Differenzengleichungen Name: ____________________ Datum: __________

Ich kann erklären, was eine Differenzengleichung ist und die Änderung pro Schritt angeben. nachlesen
Ich kann die vier Wachstumsmodelle als Differenzengleichung schreiben. nachlesen
Ich kann den Fixpunkt einer linearen Differenzengleichung bestimmen. nachlesen
Ich kann die explizite Lösung aufstellen und damit ein Glied berechnen. nachlesen
Ich kann das Langzeitverhalten je nach Faktor a beurteilen (konvergiert, wächst, schwingt). nachlesen
Ich kann Medikament, Kredit, Fischbestand und Population mit einer Differenzengleichung beschreiben. nachlesen
Ich kann eine Differenzengleichung in einer Tabellenkalkulation berechnen. nachlesen
Ich kann den Zusammenhang mit Differentialgleichungen und dem Euler-Verfahren erklären. nachlesen

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Differenzengleichung und Differentialgleichung?

Bei der Differenzengleichung springt die Zeit in festen Schritten wie Tag oder Jahr, bei der Differentialgleichung läuft sie stetig, und die Änderung pro Zeit ist die Ableitung. Mit kleiner werdender Schrittweite geht die erste in die zweite über.

Was passiert bei a = 1?

Dann ist $x_{n + 1} = x_{n} + b$ . Für $b \neq 0$ gibt es keinen Fixpunkt, die Folge ändert sich in jedem Schritt um $b$ und ist linear: $x_{n} = x_{0} + n \cdot b$ . Für $b = 0$ ist jeder Wert ein Fixpunkt.

Wie finde ich a und b aus einer Wertetabelle?

Die Änderungen $x_{n + 1} - x_{n}$ bilden eine geometrische Folge mit dem Quotienten $a$ . Aus drei Werten folgt $a = \frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1} - x_{0}}$ und $b = x_{1} - a \cdot x_{0}$ . Für 20; 36; 48,8 ist $a = \frac{12,8}{16} = 0,8$ und $b = 36 - 16 = 20$ .

Muss ich die Formel für den Fixpunkt auswendig lernen?

Nein. Setze $x_{n + 1} = x_{n} = x^{*}$ in die Gleichung ein und löse nach $x^{*}$ auf, das sind zwei Zeilen.

Wird das Thema in der Zentralmatura geprüft?

Nein. Die Grundkompetenz AN 1.4 (Differenzengleichungen) gehört zum Katalog, wird aber seit dem Haupttermin 2021/22 an der AHS nicht mehr geprüft. Die Einzelheiten stehen bei Zentralmatura Mathematik.

Quellen und weiterführende Literatur

Wikipedia: Differenzengleichung
Wikipedia: Logistische Gleichung
Ulrich Krause, Tim Nesemann: Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme, 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 2012.
Robert M. May: Simple mathematical models with very complicated dynamics, Nature 261, 1976, S. 459–467 (DOI 10.1038/261459a0).
Tien-Yien Li, James A. Yorke: Period Three Implies Chaos, American Mathematical Monthly 82 (10), 1975, S. 985–992.
Pierre-François Verhulst: Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement, Correspondance mathématique et physique 10, 1838, S. 113–121, und Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population, Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles Lettres de Bruxelles 18, 1845, S. 1–42.
Thomas Robert Malthus: An Essay on the Principle of Population, London 1798.
ORF: Erlass für heurige Matura fixiert (19. Januar 2022, zum Wegfall von Differenzengleichungen, Normalapproximation und Konfidenzintervallen in der AHS-Matura)