Wachstum Schritt für Schritt

Auf der Seite Wachstumsmodelle stehen die vier Modelle als Formeln für den Bestand. Hier siehst du die Regel dahinter. Der Unterschied liegt allein darin, wovon die Änderung pro Schritt abhängt.

• Linear: Die Änderung ist in jedem Schritt gleich, $x_{n+1}-x_n=d$. Lösung: $x_n=x_0+n·d$.
• Exponentiell: Die Änderung ist proportional zum Bestand, $x_{n+1}-x_n=p·x_n$, also $x_{n+1}=q·x_n$ mit $q=1+p$. Lösung: $x_n=x_0·q^n$.
• Beschränkt: Die Änderung ist proportional zum Abstand zur Grenze $S$, $x_{n+1}-x_n=k·(S-x_n)$. Lösung: $x_n=S-(S-x_0)·(1-k{)}^n$.
• Logistisch: Die Änderung ist proportional zum Bestand und zum freien Platz, $x_{n+1}-x_n=r·x_n·(1-\frac{x_n}{S})$. Eine einfache Formel gibt es nicht, mehr dazu im Ausblick.

Löst du die Gleichungen nach $x_{n+1}$ auf, haben die ersten drei Modelle dieselbe Form $x_{n+1}=a·x_n+b$: Linear ist $a=1$ und $b=d$, exponentiell ist $a=q$ und $b=0$, beschränkt ist $a=1-k$ und $b=k·S$. In der Schreibweise der Wachstumsmodelle ist der Faktor beim beschränkten Wachstum also $q=1-k$. Weil dieselbe Gleichung in drei Modellen steckt, lohnt sich ein genauer Blick darauf.