Fixpunkt und explizite Lösung

Die wichtigste Differenzengleichung hat die Form

x_{n + 1} = a \cdot x_{n} + b .

Zwei Zahlen legen die Regel fest. Der Faktor $a$ sagt, welcher Anteil vom alten Wert bleibt: Bei 20 % Abbau ist $a = 0,8$ , bei 10 % Zuwachs ist $a = 1,1$ . Die Konstante $b$ sagt, was in jedem Schritt fest dazukommt oder abgeht, etwa eine Dosis, eine Rate oder ein Fang. „Von der Menge bleiben 80 %, dazu kommen jeden Tag 20“ ergibt $x_{n + 1} = 0,8 \cdot x_{n} + 20$ .

Beispiel: Die ersten Glieder

Mit $x_{0} = 20$ rechnest du $x_{1} = 0,8 \cdot 20 + 20 = 36$ , $x_{2} = 0,8 \cdot 36 + 20 = 48,8$ und $x_{3} = 0,8 \cdot 48,8 + 20 = 59,04$ . Die Änderung pro Schritt wird jedes Mal kleiner, genau auf das 0,8-Fache, und der Wert nähert sich 100.

Die Folge x(n+1) = 0,8 · x(n) + 20 mit Startwert 20 (auf zwei Stellen gerundet)
n	$x_{n}$	$x_{n + 1} - x_{n}$
0	20	16
1	36	12,8
2	48,8	10,24
3	59,04	8,19
4	67,23	6,55
5	73,79	5,24
6	79,03	4,19

Fixpunkt: das Gleichgewicht

Wohin läuft die Folge? Ein Wert, der sich im nächsten Schritt nicht mehr ändert, heißt Fixpunkt oder Gleichgewicht und wird $x^{*}$ geschrieben. Für ihn gilt $x_{n + 1} = x_{n} = x^{*}$ , in die Regel eingesetzt also $x^{*} = a \cdot x^{*} + b$ . Bringst du $a \cdot x^{*}$ auf die linke Seite, folgt $x^{*} \cdot (1 - a) = b$ , und das lässt sich nach $x^{*}$ auflösen.

Die explizite Lösung

Mit der Regel musst du alle Zwischenwerte ausrechnen. Eine explizite Formel springt dagegen direkt zu $x_{n}$ . Der Trick: Du betrachtest den Abstand zum Fixpunkt $d_{n} = x_{n} - x^{*}$ . Dann gilt

d_{n + 1} = x_{n + 1} - x^{*} = (a \cdot x_{n} + b) - (a \cdot x^{*} + b) = a \cdot (x_{n} - x^{*}) = a \cdot d_{n} .

Der Abstand wird in jedem Schritt mit $a$ malgenommen. Das ist eine geometrische Folge mit $d_{n} = a^{n} \cdot d_{0}$ , und nach $x_{n}$ aufgelöst entsteht die Lösung.

Die Folge x_n+1 = 0,8 · x_n + 20 mit zwei Startwerten. Beide nähern sich dem Fixpunkt x* = 100, der Abstand zu ihm schrumpft in jedem Schritt auf das 0,8-Fache.

Verhalten je nach a

Aus der expliziten Lösung liest du das Langzeitverhalten ab, denn es hängt nur an $a^{n}$ . Entscheidend ist, wie sich der Abstand zum Fixpunkt entwickelt: Wird er kleiner oder größer, und wechselt er das Vorzeichen?

Verhalten der Lösung je nach a (der Startwert ist nicht der Fixpunkt)
Faktor $a$	Verhalten
$a > 1$	Der Abstand zum Fixpunkt wird größer, die Folge läuft vom Fixpunkt weg und wächst oder fällt über alle Grenzen.
$a = 1$	Für $b \neq 0$ gibt es keinen Fixpunkt: Die Folge wächst oder fällt gleichmäßig um $b$ pro Schritt (linear).
$0 < a < 1$	Der Abstand wird kleiner: Die Folge nähert sich dem Fixpunkt von einer Seite (Konvergenz).
$- 1 < a < 0$	Der Abstand wird kleiner und wechselt die Seite: Die Folge schwingt um den Fixpunkt und nähert sich ihm (Konvergenz).
$a = - 1$	Der Abstand bleibt gleich groß und wechselt die Seite: Die Folge springt zwischen $x_{0}$ und $2 \cdot x^{*} - x_{0}$ hin und her.
$a < - 1$	Der Abstand wird größer und wechselt die Seite: Die Folge schwingt immer weiter auf.

Das Verhalten je nach a. Gestrichelt ist der Fixpunkt x*, die Punkte sind x₀ bis x₆. Zahlen sind nicht beschriftet, es geht nur um die Form.

Diese Lektion stammt aus der Seite Differenzengleichungen. Dort steht das Thema im Zusammenhang, mit Geschichte und häufigen Fragen.