Rechner · Klasse 8 bis 10
Satz des Pythagoras: Rechner mit Skizze
Gib zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ein, der Rechner bestimmt die dritte. Er zeigt das Ergebnis exakt als Wurzel, zeichnet das Dreieck maßstabsgetreu und berechnet im Erweitert-Modus alle weiteren Größen.
So benutzt du den Rechner
Wähle oben, welche Seite gesucht ist, und trage die beiden anderen ein. Das Feld der gesuchten Seite wird ausgegraut. Die Einheit kannst du frei wählen, etwa cm, m oder km. Neben dem Ergebnis siehst du eine maßstabsgetreue Skizze des Dreiecks.
Im Bereich Erweitert berechnet der Rechner zusätzlich die beiden spitzen Winkel, die Fläche, den Umfang, die Höhe auf die Hypotenuse und die Hypotenusenabschnitte p und q.
Der Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Fläche des Quadrats über der längsten Seite ist so groß wie die Flächen der beiden anderen Quadrate zusammen.
Dabei ist c die Hypotenuse, die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Die beiden kürzeren Seiten a und b heißen Katheten. Daraus folgen die drei Formeln, die der Rechner verwendet:
Warum der Satz gilt und wie ihn schon die Babylonier benutzten, erklärt der Abschnitt zum Satz des Pythagoras. Mehr über den Namensgeber steht im Porträt von Pythagoras.
Exakte Ergebnisse mit Wurzeln
Geht die Wurzel nicht auf, zeigt der Rechner das Ergebnis zusätzlich exakt an und vereinfacht die Wurzel. Für a = b = 1 ist c = √2 ≈ 1,4142. Für a = 4 und b = 8 ist c = √80 = √(16 · 5) = 4√5 ≈ 8,9443. Diese Form ist in Klassenarbeiten oft gefragt, weil sie genauer ist als jede Kommazahl.
Ganzzahlige Lösungen gibt es nur bei bestimmten Zahlentripeln, den pythagoreischen Tripeln: 3, 4, 5 und 5, 12, 13 und 8, 15, 17 sind die bekanntesten. Jedes Vielfache eines Tripels ist wieder eines, etwa 6, 8, 10.
Erweitert: Höhe, Hypotenusenabschnitte und Winkel
Die Höhe h auf die Hypotenuse teilt c in die Abschnitte p und q. Für sie gelten der Kathetensatz a² = c · p und b² = c · q sowie der Höhensatz h² = p · q. Die Winkel berechnet der Rechner mit dem Tangens: tan α = a : b. Der Winkel α liegt dabei der Seite a gegenüber. Wie das genau funktioniert, erklärt die Trigonometrie.
Häufige Fragen
Gilt der Satz des Pythagoras in jedem Dreieck?
Nein, nur in rechtwinkligen Dreiecken. Für beliebige Dreiecke gibt es den Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Bei γ = 90° ist cos γ = 0, und es bleibt der Satz des Pythagoras übrig.
Wie erkenne ich, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?
Rechne mit der Umkehrung des Satzes: Gilt a² + b² = c² für die längste Seite c, ist das Dreieck rechtwinklig. Bei 6, 8 und 10 ist 36 + 64 = 100, also ja. Handwerker nutzen das mit der 3-4-5-Regel, um rechte Winkel abzustecken.
Wie berechne ich die Diagonale eines Rechtecks?
Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Sie ist deren Hypotenuse: d = √(Länge² + Breite²). Ein Fernseher mit 88 cm Breite und 50 cm Höhe hat also eine Diagonale von etwa 101 cm, das sind rund 40 Zoll.
Warum zeigt der Rechner einen Fehler bei der Kathete?
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Ist die eingegebene Hypotenuse kürzer als die Kathete, gibt es kein solches Dreieck, und unter der Wurzel stünde eine negative Zahl.
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