Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c². Aprende a calcular la hipotenusa y un cateto, las ternas pitagóricas, una demostración y sus aplicaciones.
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El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² + b² = c². La hipotenusa (c) es el lado más largo, el que es opuesto al ángulo recto, y los catetos (a y b) son los dos lados que forman el ángulo recto. Con catetos de 3 y 4, la hipotenusa es √(9 + 16) = √25 = 5.
La página explica la fórmula, cómo calcular la hipotenusa y un cateto, qué son las ternas pitagóricas, cómo saber si un triángulo es rectángulo, una demostración gráfica y varias aplicaciones (diagonales, escaleras, distancias entre puntos), con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Para comprobar tus cálculos tienes la calculadora del teorema de Pitágoras; en alemán, la página Satz des Pythagoras.
La fórmula del teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo con catetos a y b e hipotenusa c, se cumple a² + b² = c². Geométricamente, el cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene la misma área que los dos cuadrados construidos sobre los catetos juntos.
Cómo calcular la hipotenusa
Si conoces los dos catetos, sumas sus cuadrados y sacas la raíz cuadrada: c = √(a² + b²).
Cómo calcular un cateto
Si conoces la hipotenusa y un cateto, despejas: a = √(c² − b²). Se resta, no se suma.
Ternas pitagóricas
Una terna pitagórica son tres números naturales a, b y c con a² + b² = c². Si multiplicas una terna por un número, obtienes otra: (3, 4, 5) da (6, 8, 10) y (9, 12, 15). Para generar ternas, con dos números m > n se obtienen m² − n², 2mn y m² + n².
| a | b | c | Comprobación |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
| 9 | 40 | 41 | 81 + 1600 = 1681 |
| 6 | 8 | 10 | 36 + 64 = 100 |
El recíproco: ¿es rectángulo un triángulo?
Si los tres lados de un triángulo cumplen a² + b² = c² (con c el lado mayor), el triángulo es rectángulo. Si a² + b² es mayor que c², es acutángulo, y si es menor, obtusángulo.
Demostración gráfica
Coloca cuatro copias del triángulo rectángulo (catetos a y b, hipotenusa c) dentro de un cuadrado grande de lado a + b, con las hipotenusas formando un cuadrado inclinado de lado c en el centro. El área del cuadrado grande se puede calcular de dos formas:
- como (a + b)² = a² + 2ab + b²;
- como el cuadrado pequeño más los cuatro triángulos: c² + 4 · (a · b / 2) = c² + 2ab.
Igualando, a² + 2ab + b² = c² + 2ab, y restando 2ab en ambos lados queda a² + b² = c². Es una de las demostraciones más sencillas, y solo usa áreas.
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
También sirve para hallar la altura de un triángulo equilátero (lado 8: h = √(64 − 16) = √48 ≈ 6,93), la diagonal de un cuadrado de lado a (a√2) o la altura de una pirámide. Para repasar cuadrados y raíces, mira raíz cuadrada, y para las medidas de los lados, perímetro.
Errores frecuentes
- Aplicarlo a un triángulo que no es rectángulo. El teorema solo vale con un ángulo recto.
- Sumar los lados en lugar de sus cuadrados: 3 + 4 no es 5.
- Olvidar la raíz cuadrada y dar c² como respuesta.
- Sumar al buscar un cateto: a = √(c² − b²), con resta.
- Confundir hipotenusa y cateto: la hipotenusa es la mayor y está frente al ángulo recto.
- Escribir √(a² + b²) = a + b. La raíz de una suma no es la suma de las raíces.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué dice el teorema de Pitágoras?
Que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: a² + b² = c².
¿Cómo se calcula la hipotenusa?
c = √(a² + b²). Con catetos 6 y 8, c = 10. Mira el ejemplo.
¿Cómo se calcula un cateto?
a = √(c² − b²). Con hipotenusa 13 y cateto 5, el otro cateto mide 12.
¿Qué son las ternas pitagóricas?
Tres números naturales que cumplen a² + b² = c², como (3, 4, 5) o (5, 12, 13). Hay más en la tabla de ternas.
¿Cómo sé si un triángulo es rectángulo?
Comprueba si el cuadrado del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.
¿Para qué sirve el teorema de Pitágoras?
Para calcular distancias y longitudes: diagonales, alturas, la distancia entre dos puntos, la longitud de una rampa o de una escalera.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: volumen.
- Siguiente tema: ecuaciones.
- Las raíces del teorema: raíz cuadrada.
- Calculadora: calculadora del teorema de Pitágoras.
- Para imprimir: ejercicios del teorema de Pitágoras, con soluciones.
- En alemán: Satz des Pythagoras.
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