Standardnormalverteilung und z-Transformation

Die Fläche unter der Glockenkurve lässt sich nicht mit einer einfachen Stammfunktion berechnen. Man hat sie deshalb tabelliert, und zwar nur für die Standardnormalverteilung $N(0;1)$ mit $\mu =0$ und $\sigma =1$. Ihre Verteilungsfunktion heißt $\Phi$: $\Phi (z)$ ist die Fläche links von $z$, also $P(Z\le z)$. Jede andere Normalverteilung führst du mit der z-Transformation darauf zurück:

Für negative $z$ nutzt du die Symmetrie $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$. Die wichtigsten Rechenregeln:

• $P(X\le b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)$
• $P(X\ge a)=1-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$
• $P(a\le X\le b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$