Spiegelungen im Raum · Klasse 13 | Geschichte der Mathematik

Spiegelungen im Raum

Lektion 2 von 7 im Kapitel Schritt 13 von 37 in Klasse 13

Mit Abständen und Lotfußpunkten lassen sich Punkte spiegeln. Der Grundgedanke ist immer derselbe: Der Spiegelpunkt P′ liegt so, dass der Lotfußpunkt F die Mitte der Strecke PP′ ist. Also gilt $\vec{p}' = 2 \vec{f} - \vec{p}$ . Nur die Bestimmung von F hängt davon ab, woran du spiegelst.

Spiegelung eines Punktes P im Raum
Gespiegelt an	Die Mitte F von PP′ ist …	Hilfsmittel
einem Punkt Z	der Punkt Z selbst	Z ist die Mitte von PP′
einer Geraden g	der Lotfußpunkt von P auf g	Abstand Punkt–Gerade, Skalarprodukt
einer Ebene E	der Lotfußpunkt von P auf E	Spiegelung an der Ebene

Geraden und Ebenen spiegeln. Eine Gerade spiegelst du, indem du zwei ihrer Punkte spiegelst und die Bilder verbindest. Schneidet die Gerade die Spiegelebene, bleibt der Schnittpunkt an seinem Platz, dann reicht ein weiterer gespiegelter Punkt. Eine Ebene spiegelst du mit drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen.

Anwendung: Reflexion. Ein Lichtstrahl wird so an einer Ebene gespiegelt, dass der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel ist. Das erreichst du, indem du den Zielpunkt spiegelst und die Gerade zum Spiegelbild ziehst. Ein Laser sitzt bei A(0 | 0 | 4), er soll über den Boden z = 0 den Punkt B(6 | 0 | 2) treffen. Das Spiegelbild von B ist B′(6 | 0 | −2). Die Gerade $\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ −6 \end{matrix})$ trifft den Boden bei 4 − 6t = 0, also t = 2/3, im Punkt (4 | 0 | 0). Dort muss der Spiegel getroffen werden.

Aufgaben mit immer neuen Zahlen findest du bei Schattenwurf und Spiegelung üben.

Diese Lektion stammt aus der Seite Abstände im Raum. Dort steht das Thema im Zusammenhang, mit Geschichte und häufigen Fragen.