Gerade und Kugel · Klasse 13 | Geschichte der Mathematik

Gerade und Kugel

Lektion 5 von 7 im Kapitel Schritt 16 von 37 in Klasse 13

Eine Gerade kann eine Kugel in zwei Punkten schneiden (Sekante), in einem Punkt berühren (Tangente) oder an ihr vorbeilaufen (Passante). Im Kreis ist es genauso.

Drei Lagen einer Geraden zu einem Kreis oder zu einer Kugel. Setzt du die Gerade in die Gleichung ein, entscheidet die Diskriminante D der entstehenden quadratischen Gleichung.

Schreibe die Gerade in Parameterform, wie bei den Geraden im Raum: $x$ , $y$ und $z$ hängen von $t$ ab.
Setze diese drei Ausdrücke in die Kugelgleichung ein.
Löse die entstehende quadratische Gleichung in $t$ . Ihre Diskriminante $D$ zeigt die Lage: $D > 0$ zwei Lösungen, $D = 0$ eine, $D < 0$ keine.
Setze die Lösungen für $t$ in die Geradengleichung ein. Das liefert die Schnittpunkte.

Drei Geraden zur Kugel K
Gerade	Gleichung in $t$	$D$	Lage
$(4 \| 6 \| - 1) + t \cdot (0 \| - 1 \| 1)$	$t^{2} - 12 t + 32 = 0$	$16$	Sekante, Punkte $(4 \| 2 \| 3)$ und $(4 \| - 2 \| 7)$
$(6 \| - 5 \| - 1) + t \cdot (0 \| 3 \| 4)$	$t^{2} - 2 t + 1 = 0$	$0$	Tangente, Berührpunkt $(6 \| - 2 \| 3)$
$(1 \| - 2 \| 10) + t \cdot (1 \| 0 \| 0)$	$t^{2} + 24 = 0$	$- 96$	Passante, kein gemeinsamer Punkt

Bei der Tangente steht die Richtung $(0 | 3 | 4)$ senkrecht auf dem Radius zum Berührpunkt: $\vec{M B} = (5 | 0 | 0)$ , und das Skalarprodukt ist $0$ . Alternativ bestimmst du den Abstand des Mittelpunkts von der Geraden, wie bei den Abständen Punkt und Gerade, und vergleichst ihn mit $r$ .

In der Ebene geht es genauso. Für den Kreis $x^{2} + y^{2} = 25$ und die Gerade $y = x + 1$ ist $x^{2} + {(x + 1)}^{2} = 25$ , also $x^{2} + x - 12 = 0$ und $x = 3$ oder $x = - 4$ . Die Schnittpunkte sind $(3 | 4)$ und $(- 4 | - 3)$ .