Histoire du nombre pi

Si tu divises la circonférence d’un cercle par son diamètre, tu obtiens toujours le même nombre, que ce soit pour une pièce de monnaie, une roue de chariot ou l’orbite de la Terre. Il commence par 3,14159 et ne s’arrête jamais. Ce nombre π a occupé les humains pendant des millénaires : les artisans en avaient besoin pour les tonneaux et les coupoles, les astronomes pour les orbites, les mathématiciens pour savoir si l’on peut jamais le saisir en entier. Pour savoir comment calculer avec lui, voir la page Geometrie (en allemand). Ici, on raconte son histoire.

Babylone, Égypte et Bible : les premières valeurs

Les premières valeurs de π viennent de la pratique. Une tablette de Suse, découverte en 1936, donne la circonférence d’un cercle comme 3 1/8 de son diamètre, soit 3,125. En Égypte, le scribe Ahmès calcule dans le papyrus Rhind (vers 1550 av. J.-C.) l’aire d’un cercle comme le carré des 8/9 du diamètre. Cela revient à π ≈ (16/9)² = 256/81 ≈ 3,1605, avec environ 0,6 % d’erreur en trop. Plus de détails dans les pages sur les mathématiques babyloniennes et égyptiennes (en allemand).

La Bible est souvent citée dans cette histoire. Dans le premier livre des Rois (7, 23), la « mer de métal fondu » du temple de Salomon est un bassin rond de dix coudées de diamètre et trente de circonférence. On en conclut parfois « π = 3 ». Mais le texte ne fait aucune affirmation mathématique : il décrit un objet en nombres ronds. Y voir une erreur de la Bible, c’est lui demander plus qu’il ne dit.

Archimède et les polygones

Un vrai procédé de calcul apparaît avec Archimède de Syracuse, vers 250 av. J.-C. Il dessine des polygones réguliers à l’intérieur et à l’extérieur d’un cercle. La circonférence se trouve entre leurs périmètres, et plus ils ont de côtés, plus l’encadrement se resserre. Avec 96 côtés, il obtient 223/71 < π < 22/7, soit 3,1408 < π < 3,1429. La nouveauté n’est pas la valeur, mais la preuve que π est à coup sûr compris entre deux bornes. La valeur 22/7 figure encore dans les manuels : elle ne diffère de π que de 0,04 %. Voir Archimède (en allemand).

En Chine, Liu Hui reprend la méthode des polygones au III^e siècle avec des polygones de plusieurs milliers de côtés. Au V^e siècle, Zu Chongzhi trouve la fraction 355/113 = 3,1415929…, qui ne s’écarte de π qu’à la septième décimale. Pendant plus de 900 ans, personne ne fait mieux. C’est encore un bon moyen mnémotechnique : écris 113355, puis divise la deuxième moitié (355) par la première (113). Voir Liu Hui (en allemand).

Les séries infinies venues d’Inde

Une idée nouvelle vient du sud de l’Inde au XIV^e siècle. Madhava de Sangamagrama (vers 1340 à 1425) trouve des séries infinies qui écrivent π comme une somme de fractions de plus en plus petites : π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … Plus besoin de polygones. Madhava calcule π avec onze décimales. En Europe, James Gregory redécouvre la même série au XVII^e siècle, puis Leibniz, d’où son nom de série de Leibniz. Elle converge lentement : après 1 000 termes, quatre fois la somme donne seulement 3,1406 et seuls trois chiffres sont exacts (3,14). Voir Madhava (en allemand).

Ludolph van Ceulen et le « nombre de Ludolph »

Vers 1600, les polygones trouvent leur défenseur le plus acharné dans le maître de calcul et d’escrime Ludolph van Ceulen (1540–1610), qui vit à Delft et à Leyde. Pendant des décennies, il calcule avec des polygones de plus en plus grands. En 1596, il publie 20 décimales, et à sa mort il a atteint 35 décimales, celles que porte sa tombe. Son effort est devenu proverbial : en Allemagne, π a longtemps été appelé « nombre de Ludolph ». D’après la tradition, les chiffres ont été gravés sur sa tombe, dans l’église Saint-Pierre de Leyde. La pierre d’origine est perdue, une réplique y a été posée en 2000.

Le symbole π et les formules rapides

La lettre π pour désigner le rapport entre la circonférence et le diamètre est d’abord employée dans ce sens par le Gallois William Jones en 1706. La même année, l’astronome John Machin publie une formule qui permet de calculer π beaucoup plus vite et grâce à laquelle il obtient 100 décimales. Leonhard Euler reprend le symbole, l’utilise dans ses écrits et ses manuels, et en fait ainsi la norme. Un sommet de la formule et du calcul à la main est le travail de l’Anglais William Shanks, qui donne en 1873 une valeur de π avec 707 décimales. D’après le récit habituel, on découvre en 1944 qu’il s’est trompé à la 528^e décimale : tout ce qui suivait était faux. Voir Euler (en allemand).

π est-il une fraction ? Lambert et Lindemann

Parallèlement au calcul, une autre question grandit : peut-on écrire π comme une fraction ? Johann Heinrich Lambert montre dans les années 1760 que ce n’est pas possible : π est irrationnel. On cite souvent 1761, la démonstration est imprimée en 1768. Les décimales ne s’arrêtent donc jamais et ne se répètent jamais.

L’énoncé de Ferdinand von Lindemann (1882) est encore plus fort : π est transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Il en découle qu’on ne peut jamais construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle donné. Ce problème antique, la quadrature du cercle, a occupé les mathématiciens pendant plus de 2 000 ans, et il est résolu de la seule façon possible : il est impossible. D’où l’expression « chercher la quadrature du cercle » pour une tâche impossible. Voir Lambert et les mathématiques du XIX^e siècle (en allemand).

Ramanujan, Chudnovsky et les ordinateurs

Au XX^e siècle, tout s’accélère. L’autodidacte indien Srinivasa Ramanujan publie en 1914 des séries pour π qui convergent remarquablement vite : chaque terme donne environ huit nouveaux chiffres. Son histoire est dans la page Hardy et Ramanujan (en allemand). Sur cette base, David et Gregory Chudnovsky publient en 1988 une série qui donne environ 14 chiffres par terme. Cette méthode se retrouve encore dans les programmes de record.

En 1949, l’ordinateur à tubes ENIAC calcule pendant 70 heures et fournit 2 037 décimales. C’était un test pour la machine, pas un besoin : John von Neumann avait proposé d’étudier statistiquement les chiffres de constantes célèbres. Depuis, le nombre de décimales progresse par sauts :

• 1949 : 2 037 décimales (ENIAC).
• 2022 : 100 000 milliards de décimales (Google Cloud).
• 2024 : 202 000 milliards de décimales (StorageReview).
• Avril 2025 : 300 000 milliards de décimales (Linus Media Group et Kioxia).
• Fin 2025 : 314 000 milliards de décimales (StorageReview avec Micron, environ 110 jours de calcul de juillet à novembre 2025), confirmé comme record par Guinness World Records en juin 2026.

État en novembre 2026. D’après Guinness, le calcul a duré presque 110 jours sur un seul serveur et a utilisé environ 2,1 pétaoctets de stockage. Le record ne tiendra sans doute pas longtemps. Il en dit moins sur les mathématiques que sur la technique : c’est un test de charge pour les processeurs et la mémoire. (En français, 314 000 milliards s’appellent aussi 314 billions ; l’anglais américain dit « 314 trillion ».)

Les 100 premières décimales de π

Les 100 premières décimales de π, groupées par dix :

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

Arrondi, cela donne 3,14 pour la vie courante, 3,1416 pour la plupart des exercices scolaires et 3,141592653589793 (15 décimales) pour guider une sonde. Le premier zéro n’apparaît d’ailleurs qu’à la 32^e décimale. On ne sait toujours pas démontrer que π est un nombre « normal », c’est-à-dire que toute suite de chiffres y apparaît aussi souvent qu’une autre.

Le jour de π, le 14 mars

Peu de nombres ont une journée à eux. Le physicien Larry Shaw relie en 1988, à l’Exploratorium de San Francisco, la date du 14 mars (3/14 en notation américaine) aux premiers chiffres 3,14, et le musée fête l’événement avec des tartes. En 2009, la Chambre des représentants des États-Unis soutient le jour de π. En 2019, l’UNESCO proclame le 14 mars Journée internationale des mathématiques, célébrée pour la première fois en 2020.

Chronologie

1. vers 1900 à 1600 av. J.-C. Babylone : π ≈ 3 1/8.
2. vers 1550 av. J.-C. Papyrus Rhind : π ≈ 256/81 ≈ 3,1605.
3. vers 250 av. J.-C. Archimède encadre π avec le polygone à 96 côtés.
4. V^e siècle Zu Chongzhi donne 355/113.
5. XIV^e siècle Madhava trouve des séries infinies pour π.
6. 1610 Ludolph van Ceulen meurt avec 35 décimales.
7. 1706 William Jones introduit π, John Machin trouve sa formule.
8. 1768 Lambert publie la preuve de l’irrationalité.
9. 1882 Lindemann démontre la transcendance de π.
10. 1949 ENIAC fournit 2 037 décimales.

Questions fréquentes

Sources et pour aller plus loin

• CNRS Images des mathématiques : Les décimales de pi (François Gramain)
• CNRS Images des mathématiques : Promenade mathématique en Mésopotamie (Jean Brette)
• Wikipédia : Pi
• Guinness World Records : Pi-high computing achievement, 1^er juin 2026 (en anglais ; le titre mentionne par erreur 340 au lieu de 314 billions)
• NASA JPL : How Many Decimals of Pi Do We Really Need ? (en anglais)
• Exploratorium : A Slice of Pi Day History (en anglais)
• Wikipedia : Indiana pi bill (en anglais)
• Petr Beckmann : A History of π, St. Martin’s Press, New York 1971.