Madhava von Sangamagrama

Madhava von Sangamagrama (ca. 1340–1425) war ein Astronom und Mathematiker aus Kerala an der Südwestküste Indiens und einer der bedeutendsten Vertreter der indischen Mathematik. Er fand als Erster unendliche Reihen für die Kreiszahl π und für die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Arkustangens. In Europa wurden dieselben Formeln erst in der Mathematik des 17. Jahrhunderts entdeckt und mit den Namen James Gregory, Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz verbunden. Die Reihe π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … heißt deshalb heute oft Madhava-Leibniz-Reihe.

Madhava gilt als Begründer der Kerala-Schule der Astronomie und Mathematik, einer Gelehrtentradition, die rund zwei Jahrhunderte lang blühte. Seine mathematischen Schriften sind verloren; was wir über seine Ergebnisse wissen, stammt aus Werken seiner Nachfolger, die ihn ausdrücklich als Urheber nennen. Diese Texte zeigen, dass Madhava nicht nur mit unendlichen Summen rechnete, sondern auch abschätzte, wie groß der Fehler beim Abbrechen einer Reihe ist. Damit kam er Grundgedanken der späteren Analysis erstaunlich nahe.

Leben in Kerala

Über Madhavas Leben gibt es nur spärliche Angaben. Sein Beiname verweist auf den Ort Sangamagrama, wörtlich „Dorf am Zusammenfluss“. Wo dieser Ort lag, ist nicht sicher: Lange setzte man ihn mit Irinjalakuda bei Thrissur gleich, neuere Untersuchungen denken eher an einen Ort am Fluss Nila (Bharathapuzha). In seinem Werk Veṇvāroha nennt Madhava den Namen seines Hauses; in Kerala wurden Gelehrte häufig nach ihrem Familiensitz benannt. Er stammte vermutlich aus einer Brahmanenfamilie, wie fast alle Astronomen Keralas.

Kerala bestand im 14. und 15. Jahrhundert aus kleinen Fürstentümern mit reichen Häfen, über die Pfeffer und andere Gewürze nach Arabien, China und später nach Europa gingen. Die Astronomie diente hier wie überall in Indien vor allem dem Kalender: Tempelfeste, Rituale und die Landwirtschaft richteten sich nach den Positionen von Sonne und Mond. Madhava arbeitete in dieser Tradition. Seine mathematischen Entdeckungen hatten ein praktisches Ziel, nämlich Himmelspositionen genauer zu berechnen.

Die Kerala-Schule: Lehrer und Schüler

Madhavas Bedeutung liegt auch darin, dass er eine Schule begründete, in der Wissen über Generationen vom Lehrer an den Schüler weitergegeben wurde. Die wichtigsten Glieder dieser Kette sind:

• Parameśvara, ein direkter Schüler Madhavas, bekannt für jahrzehntelange Beobachtungen von Finsternissen und das Rechensystem Dṛggaṇita (1430).
• Dāmodara, Parameśvaras Sohn und Lehrer des Nīlakaṇṭha.
• Nīlakaṇṭha Somayājī (1444–1544), Verfasser des Tantrasaṅgraha (um 1500) und eines ausführlichen Kommentars zum Aryabhatiya des Aryabhata.
• Jyeṣṭhadeva (16. Jahrhundert), Verfasser der Yuktibhāṣā (um 1530), eines Lehrbuchs in der Landessprache Malayalam, das die Ergebnisse der Schule mit ausführlichen Begründungen darstellt.
• Śaṅkara Vāriyar (16. Jahrhundert), Kommentator des Tantrasaṅgraha und der Lilavati des Bhaskara II; in seinen Kommentaren werden mehrere Reihen ausdrücklich Madhava zugeschrieben.

Die Yuktibhāṣā ist für die Mathematikgeschichte besonders wertvoll, weil sie die Ergebnisse nicht nur nennt, sondern herleitet. Sie zeigt, dass indische Mathematiker ihre Regeln sehr wohl begründeten, auch wenn die Begründungen oft mündlich weitergegeben und nur selten aufgeschrieben wurden.

Überlieferung: ein Werk aus zweiter Hand

Von Madhava selbst sind nur einige kurze astronomische Schriften erhalten. Die bekannteste ist das Veṇvāroha („Bambusklettern“), 74 Sanskrit-Verse, deren Rechnungen sich auf die Zeit um 1400 beziehen. Es beschreibt, wie man die wahre Position des Mondes für Zeitpunkte im Abstand von etwa einer halben Stunde berechnet, Schritt für Schritt, so wie man an einem Bambusrohr Knoten für Knoten hinaufklettert. Das Sphuṭacandrāpti behandelt ebenfalls die Mondbahn. Madhava verbesserte außerdem die Mondsätze (candravākya), Merkverse, in denen Mondpositionen als Silbenfolgen verschlüsselt sind.

Seine mathematischen Hauptwerke dagegen sind verloren. Seine Ergebnisse kennen wir, weil spätere Autoren der Kerala-Schule sie zitieren und dabei Madhava als Urheber nennen. Nicht immer lässt sich sicher trennen, was von ihm selbst stammt und was seine Schüler ergänzten. Für die Reihen für π, Sinus, Kosinus und Arkustangens ist die Zuschreibung an Madhava aber gut bezeugt.

Die Madhava-Leibniz-Reihe für π

Madhavas bekannteste Entdeckung ist eine unendliche Reihe für den Umfang des Kreises. In heutiger Schreibweise lautet sie:

Man addiert und subtrahiert abwechselnd die Kehrwerte der ungeraden Zahlen, und je mehr Glieder man nimmt, desto näher kommt die Summe an π/4 heran. In Europa fand James Gregory 1671 die allgemeinere Reihe für den Arkustangens, aus der diese Formel folgt; Gottfried Wilhelm Leibniz entdeckte sie 1673 unabhängig davon. Madhava war ihnen rund 250 Jahre voraus.

Die Reihe hat allerdings einen Haken: Sie konvergiert quälend langsam. Nach zehn Gliedern ergibt sich für π erst 3,04, nach hundert Gliedern 3,13. Für zehn richtige Nachkommastellen bräuchte man Milliarden von Gliedern. Madhava kannte dieses Problem und fand zwei Auswege.

Korrekturterme: den Fehler abschätzen statt ihn hinzunehmen

Der erste Ausweg sind Korrekturterme (antya-saṃskāra, „Endkorrektur“). Bricht man die Reihe nach dem Glied mit dem Nenner 2n − 1 ab, fügt man einen Ausdruck hinzu, der den unendlichen Rest näherungsweise ersetzt. Überliefert sind drei immer genauere Korrekturterme, jeweils mit dem Vorzeichen (−1)ⁿ:

Die Wirkung ist verblüffend. Die Tabelle zeigt den Näherungswert für π (das Vierfache der Summe), wenn man nach n Gliedern abbricht und einen der Korrekturterme hinzufügt.

Schon mit zehn Gliedern und dem dritten Korrekturterm stimmen sieben Nachkommastellen, mit 50 Gliedern sind es elf. Ohne Korrektur ist dagegen nach 50 Gliedern erst die erste Nachkommastelle richtig. Modern betrachtet sind die drei Korrekturterme Näherungsbrüche eines Kettenbruchs für den Rest der Reihe. Dass Madhava den Fehler eines Abbruchs so genau erfasste, zeigt ein Verständnis für das Verhalten unendlicher Reihen, wie es in Europa erst im 17. und 18. Jahrhundert entstand.

Schneller zum Ziel: die Reihe mit √12

Der zweite Ausweg ist eine umgeformte Reihe, die viel schneller konvergiert:

Mit den ersten 21 Gliedern dieser Reihe ergibt sich π mit einem Fehler von weniger als einem Hundertmilliardstel, also auf elf Nachkommastellen genau. Überliefert ist ein Vers, der den Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser 900.000.000.000 als 2.827.433.388.233 angibt. Das entspricht π ≈ 3,14159265359. Ein noch genauerer Wert mit 13 Nachkommastellen, 3,1415926535898, wird gelegentlich ebenfalls Madhava zugeschrieben, könnte aber auch von einem seiner Nachfolger stammen. Gut belegt sind die elf Stellen.

Zum Vergleich: Archimedes hatte π um 250 v. Chr. zwischen 3 10/71 und 3 1/7 eingeschlossen, Liu Hui kam im 3. Jahrhundert auf 3,14159. Fast gleichzeitig mit Madhava bestimmte der persische Astronom al-Kāschī 1424 in Samarkand π mit Vielecken sogar auf 16 Nachkommastellen. Madhavas Leistung liegt also nicht im Rekord, sondern in der Methode: Er erschloss π durch eine unendliche Summe statt durch immer feinere Vielecke.

Reihen für Sinus, Kosinus und Arkustangens

Die Reihe für π ist ein Sonderfall einer allgemeineren Entdeckung: Madhava fand Reihenentwicklungen für die Winkelfunktionen. In heutiger Form, mit dem Winkel x im Bogenmaß, lauten sie:

Madhava schrieb sie nicht so, sondern bezog sie auf Bogenlängen und den Kreisradius und formulierte sie in Versen. Inhaltlich entsprechen sie genau den Reihen, die Isaac Newton 1669 für Sinus und Kosinus und James Gregory 1671 für den Arkustangens fanden; heute nennt man solche Entwicklungen Taylor-Reihen. Setzt man in der Arkustangens-Reihe x = 1, erhält man wegen arctan 1 = π/4 die Madhava-Leibniz-Reihe.

Mit diesen Reihen berechnete Madhava eine Sinustafel für 24 Winkel im Abstand von 3¾ Grad. Ihre Werte sind in Bogenminuten, Bogensekunden und Sechzigsteln von Sekunden angegeben und auf etwa sieben Dezimalstellen genau. Solche Tafeln brauchten die Astronomen für jede Positionsberechnung; die Grundlagen erklärt unsere Seite zur Trigonometrie.

Wie die Kerala-Schule argumentierte

Die Herleitungen sind in der Yuktibhāṣā überliefert. Um die Länge eines Kreisbogens zu bestimmen, teilt Jyeṣṭhadeva ihn in sehr viele kleine Stücke, drückt jedes Stück näherungsweise durch einfache Größen aus und summiert alle Beiträge. Dabei braucht er Summen von Potenzen wie 1^k + 2^k + … + n^k und nutzt, dass diese Summe für große n ungefähr n^k+1/(k + 1) beträgt. Genau dieser Schritt entspricht in der heutigen Analysis der Berechnung eines Integrals.

Auch geometrische Reihen untersuchte die Schule. Nīlakaṇṭha zeigte, dass 1/4 + 1/16 + 1/64 + … den Wert 1/3 hat, und erklärte, warum die Summe diesen Wert mit endlich vielen Gliedern nie erreicht, ihm aber beliebig nahe kommt. Das ist der Kern des Grenzwertbegriffs.

Trotzdem sollte man die Kerala-Schule nicht als vorweggenommene Infinitesimalrechnung darstellen. Es fehlen ein allgemeiner Funktionsbegriff, die Ableitung als eigene Rechenoperation und der Hauptsatz, der Differenzieren und Integrieren verbindet. Newton und Leibniz schufen einen universellen Kalkül; die Mathematiker Keralas entwickelten hochwirksame Verfahren für ein bestimmtes Ziel, die genaue Berechnung von Kreisbögen und Winkelfunktionen.

Wiederentdeckung und die Frage nach Europa

Außerhalb Keralas blieben die Ergebnisse der Schule lange unbekannt. In den 1830er-Jahren stellte der britische Kolonialbeamte Charles Whish die Reihen in einem Aufsatz für die Royal Asiatic Society vor, doch breite Aufmerksamkeit fanden sie erst im 20. Jahrhundert, als indische Forscher die Texte edierten, übersetzten und mathematisch kommentierten.

Zeitleiste

1. um 1340 Geburt Madhavas in Sangamagrama (Kerala).
2. um 1400 Bezugszeit der Mondberechnungen im Veṇvāroha.
3. um 1425 Tod Madhavas.
4. 1430 Sein Schüler Parameśvara vollendet das Dṛggaṇita.
5. um 1500 Nīlakaṇṭha Somayājī verfasst das Tantrasaṅgraha.
6. um 1530 Jyeṣṭhadevas Yuktibhāṣā leitet Madhavas Reihen ausführlich her.
7. 1669 Newton findet die Reihen für Sinus und Kosinus.
8. 1671 James Gregory veröffentlicht die Arkustangens-Reihe.
9. 1673 Leibniz entdeckt die Reihe für π/4.
10. 1830er Charles Whish macht die Kerala-Reihen in Europa bekannt.

Madhavas Bedeutung heute

Madhavas Reihen gehören heute zum Grundstoff jedes Analysis-Studiums. Potenzreihen wie die für Sinus und Kosinus sind ein Standardwerkzeug, um Funktionen anzunähern, Gleichungen numerisch zu lösen und Fehler abzuschätzen. Die Arkustangens-Reihe war über Jahrhunderte das wichtigste Hilfsmittel zur Berechnung von π: John Machin bestimmte 1706 mit einer Kombination solcher Reihen 100 Nachkommastellen, und ähnliche Formeln nutzte noch 1949 eine der ersten Computerberechnungen von π.

Für die Geschichtsschreibung hat Madhava eine weitere Bedeutung. Er zeigt, dass zentrale Ideen der Analysis nicht allein in Europa entstanden sind, sondern in einer ganz anderen Gelehrtenkultur unabhängig gefunden wurden. In der Fachliteratur setzen sich Bezeichnungen wie „Madhava-Leibniz-Reihe“ und „Madhava-Gregory-Reihe“ deshalb zunehmend durch.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Kim Plofker: Mathematics in India, Princeton University Press, Princeton 2009.
• K. V. Sarma (Übers.), K. Ramasubramanian, M. D. Srinivas, M. S. Sriram: Gaṇita-Yukti-Bhāṣā (Rationales in Mathematical Astronomy) of Jyeṣṭhadeva, 2 Bände, Hindustan Book Agency, New Delhi 2008.
• George Gheverghese Joseph: A Passage to Infinity. Medieval Indian Mathematics from Kerala and Its Impact, SAGE, New Delhi 2009.
• MacTutor History of Mathematics: Madhava of Sangamagrama (englisch)
• Wikipedia: Madhava (Mathematiker)