Johann Heinrich Lambert

Johann Heinrich Lambert (1728–1777) war ein Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosoph aus Mülhausen im Elsass, das damals eine selbstständige Stadtrepublik und mit der Schweiz verbündet war (heute Mulhouse in Frankreich). Der Sohn eines Schneiders verließ die Schule mit zwölf Jahren und bildete sich fast ganz allein. Trotzdem wurde er Mitglied der Berliner Akademie der Wissenschaften und einer der vielseitigsten Gelehrten seiner Zeit.

Lambert bewies als Erster, dass die Kreiszahl π irrational ist, also nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann. Außerdem begründete er die Photometrie, die Lehre von der Messung des Lichts, erforschte die Hyperbelfunktionen, entwarf Landkarten-Projektionen, die bis heute auf Flugkarten benutzt werden, und tastete sich in der Parallelentheorie an die nichteuklidische Geometrie heran. Er gehört zur Generation nach Leonhard Euler, der ihn nach Berlin holte (Mathematik des 18. Jahrhunderts).

Leben: Vom Schneidersohn zum Akademiemitglied

Herkunft und Selbststudium

Lamberts Vorfahren waren Calvinisten aus Lothringen, die 1635 nach Mülhausen geflohen waren. Sein Vater Lukas war Schneider und hatte mehrere Söhne. Johann Heinrich half nach dem Schulabgang in der Werkstatt, las aber abends alles, was er an Büchern bekommen konnte, und lernte Mathematik, Physik und Sprachen im Selbststudium. 1748 wurde er Hauslehrer im Haus des Grafen Peter von Salis in Chur. Dort stand ihm eine große Bibliothek offen, und er baute sich eigene Instrumente für Himmelsbeobachtungen.

Reisen, Berlin und die Akademie

Von 1756 bis 1758 reiste Lambert mit seinen Zöglingen durch Europa und lernte viele Gelehrte kennen. Danach lebte er in Augsburg, wo er 1760 seine Photometria und 1761 die Kosmologischen Briefe veröffentlichte. 1764 folgte er einer Einladung Eulers nach Berlin. König Friedrich II. zögerte zunächst, den eigenwillig auftretenden Mann aufzunehmen. Der Überlieferung nach fragte er ihn, in welcher Wissenschaft er am stärksten sei. Lambert soll „In allen“ geantwortet haben, auf die Frage nach seinem Lehrer „Ich selbst“. Ob das Gespräch genau so verlief, ist nicht gesichert. Er wurde Mitglied der Akademie, wo auch Euler und später Lagrange wirkten, erhielt 1770 zusätzlich das Amt eines Oberbaurats und starb am 25. September 1777 mit 49 Jahren in Berlin.

Der Beweis, dass π irrational ist

Eine Zahl heißt rational, wenn sie sich als Bruch ganzer Zahlen schreiben lässt, etwa 1/2 = 0,5 oder 1/3 = 0,333… Rationale Zahlen haben Dezimalbrüche, die enden oder sich periodisch wiederholen. Bei π = 3,14159265… hat man nie eine Wiederholung entdeckt, und schon Archimedes hatte π nur mit Brüchen wie 22/7 eingegrenzt. Aber wie beweist man, dass sich nie etwas wiederholt? Die Antwort gelang Lambert mit Kettenbrüchen, also Brüchen, deren Nenner selbst wieder Brüche enthalten.

Er fand, dass sich die Tangensfunktion so darstellen lässt:

Aus diesem Kettenbruch folgerte Lambert: Ist x eine rationale Zahl ungleich 0, dann ist tan x irrational. Das gibt einen Trick, an π heranzukommen. Für x = π/4 (45°) ist tan x = 1, und 1 ist rational. Wäre π/4 rational, müsste der Tangens irrational sein, aber er ist 1. Also kann π/4 nicht rational sein, und damit auch π nicht. In derselben Arbeit zeigte er, dass auch eˣ für rationale x ≠ 0 irrational ist.

Lambert legte den Beweis der Berliner Akademie vor (meist wird 1767 genannt) und ließ ihn 1768 drucken; in vielen Büchern steht die Jahreszahl 1761, weil der Akademieband diese Zahl im Titel trägt. Sein Beweis hatte Lücken, die erst später geschlossen wurden: Zunächst gab Adrien-Marie Legendre 1794 eine strengere Fassung und zeigte sogar, dass π² irrational ist. In der Abhandlung vermutete Lambert außerdem, dass π und e transzendent sind, also keine Lösung einer Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Das bewiesen Charles Hermite für e (1873) und Ferdinand von Lindemann für π (1882). Damit war auch die alte Aufgabe der Kreisquadratur mit Zirkel und Lineal endgültig unlösbar.

Photometria: Wie hell ist Licht?

1760 erschien Lamberts Photometria sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae („Photometrie oder Vom Messen und von den Graden des Lichts, der Farben und des Schattens“). Darin stellte er Gesetze auf, nach denen sich Helligkeit berechnen lässt. Zwei davon kennt man heute aus dem Physikunterricht. Zum einen nimmt die Beleuchtung einer Fläche mit dem Quadrat des Abstands zur Lichtquelle ab. Zum anderen hängt sie davon ab, wie schräg das Licht auftrifft (Lambertsches Kosinusgesetz):

Hier ist E die Beleuchtungsstärke, I die Lichtstärke der Quelle, r der Abstand und α der Winkel zwischen dem Lichtstrahl und der Senkrechten auf der Fläche. Rückt die Lampe von 1 m auf 2 m Abstand, wird es nur noch ein Viertel so hell. Fällt das Licht unter α = 60° ein, ist die Fläche nur halb so hell, denn cos 60° = 0,5.

Lambert beschrieb auch, wie Licht in einem durchsichtigen Stoff mit der Strecke abnimmt; daraus entstand das Bouguer-Lambert-Beersche Gesetz, mit dem Chemiker noch heute Konzentrationen messen. Eine ideal matte Fläche sieht nach seinen Überlegungen aus jedem Blickwinkel gleich hell aus; solche „Lambertschen Flächen“ gehören zu den einfachsten Modellen der Computergrafik.

Hyperbelfunktionen, Landkarten und Kosmos

In derselben Abhandlung wie der Beweis der Irrationalität von π untersuchte Lambert die Hyperbelfunktionen sinh und cosh, die man aus der Exponentialfunktion bildet: cosh x = (eˣ + e⁻ˣ)/2 und sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2. Sie verhalten sich zur Hyperbel wie Sinus und Kosinus zum Kreis. Die Kurve einer frei hängenden Kette, die Kettenlinie, ist ein Kosinus hyperbolicus. Lambert gehörte zu den Ersten, die diese Funktionen systematisch untersuchten.

1772 veröffentlichte er Überlegungen zum Entwerfen von Landkarten. Eine Kugeloberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei auf ein Blatt Papier abbilden, deshalb braucht man Kompromisse. Lamberts winkeltreue Kegelprojektion bildet die Erdkugel auf einen Kegelmantel ab, der sich dann zu einer Karte ausrollen lässt. Winkel bleiben dabei richtig, sodass Kurse gut abzulesen sind. Deshalb nutzt man sie bis heute für Flug- und Wetterkarten. Auch flächentreue Karten zählen zu seinen Entwürfen.

In den Kosmologischen Briefen (1761) entwarf Lambert ein Bild des Weltalls: Sterne bilden Systeme, diese Systeme wieder größere Systeme. Die Milchstraße ist eines davon, und auch die schwachen Nebelflecken am Himmel könnten fernere Sternsysteme sein. Ähnliche Gedanken hatten vor ihm Thomas Wright und Immanuel Kant geäußert.

Die Theorie der Parallellinien

Seit Euklid versuchten Mathematiker zu beweisen, dass zu einer Geraden durch einen Punkt außerhalb genau eine Parallele existiert. Lambert schrieb 1766 eine Abhandlung dazu, die erst 1786, nach seinem Tod, erschien. Er untersuchte ein Viereck mit drei rechten Winkeln, das heute Lambert-Viereck heißt, und fragte nach dem vierten Winkel. Dieser kann rechtwinklig, stumpf oder spitz sein. Der stumpfe Fall führt zu Widersprüchen, der rechte Winkel zur gewohnten Geometrie. Der spitze Winkel dagegen bereitete ihm Kopfzerbrechen, weil sich kein Widerspruch ergab. In dieser Welt ist die Winkelsumme im Dreieck kleiner als 180°, und es gibt eine absolute Längeneinheit. Ähnliche Vierecke hatte schon Ibn al-Haitham betrachtet.

Lambert vermutete, dass der spitze Fall auf einer Kugel mit imaginärem Radius gelten würde. Er hielt ihn nicht für bewiesen widerspruchsfrei, ahnte aber, dass er eine echte Geometrie beschreibt. Ausgearbeitet haben solche Geometrien erst János Bolyai und Nikolai Lobatschewski sowie, zunächst im Stillen, Carl Friedrich Gauß im 19. Jahrhundert. 1893 entdeckte Paul Stäckel die vergessene Abhandlung Lamberts neu.

Zeitleiste: Johann Heinrich Lamberts Leben

1. 1728 Geburt am 26. August in Mülhausen
2. 1748 Hauslehrer beim Grafen von Salis in Chur
3. 1760 Photometria
4. 1764 Neues Organon; Übersiedlung nach Berlin
5. 1766 Abhandlung über die Parallellinien (gedruckt 1786)
6. 1768 Druck des Beweises, dass π irrational ist
7. 1777 Tod am 25. September in Berlin

Bedeutung und Nachwirkung

Lambert zeigte, dass sich mit Kettenbrüchen Aussagen über unendlich lange Dezimalbrüche beweisen lassen, und beendete damit die Frage, ob π irgendwann „aufgeht“. Seine Photometrie lieferte die Sprache, in der Beleuchtungstechnik und Computergrafik bis heute Helligkeit beschreiben, seine Kartenentwürfe stecken in der Flugnavigation, und seine Parallelentheorie war ein erster Schritt zu den Geometrien, die später Bernhard Riemann und Albert Einstein für die Beschreibung des Raums nutzten.

Quellen und weiterführende Literatur

• Johann Heinrich Lambert: Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques. In: Mémoires de l’Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin, Band für 1761, erschienen 1768.
• Paul Stäckel, Friedrich Engel: Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauss. Teubner, Leipzig 1895.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Springer, Berlin 2008/2009.
• MacTutor History of Mathematics: Johann Heinrich Lambert (englisch)
• Wikipedia: Johann Heinrich Lambert