Liu Hui

Liu Hui war ein chinesischer Mathematiker des 3. Jahrhunderts n. Chr., der im Reich Wei zur Zeit der Drei Reiche lebte. Bekannt ist er vor allem durch seinen Kommentar zu den Neun Kapiteln der Rechenkunst (Jiuzhang suanshu) aus dem Jahr 263. Das alte Rechenbuch gab nur Aufgaben mit Lösungsregeln an. Liu Hui erklärte, warum die Regeln stimmen, und lieferte damit Begründungen, die griechischen Beweisen nahekommen.

Berühmt ist seine Berechnung der Kreiszahl π mit immer feineren Vielecken, ähnlich der Methode von Archimedes. Es gibt keinen Hinweis, dass die beiden voneinander wussten. Außerdem berechnete Liu Hui Rauminhalte, erklärte ein Eliminationsverfahren für Gleichungssysteme und schrieb ein Lehrbuch der Landvermessung, das Haidao suanjing.

Leben und die Neun Kapitel

Von Liu Hui weiß man fast nur, was in seinem eigenen Nachwort steht. Er lebte im Reich Wei, einem der drei Reiche, in die China nach dem Ende der Han-Dynastie zerfiel. Die Lebensdaten werden meist mit etwa 225 bis 295 angegeben, andere Quellen nennen 220 bis 280. Sicher ist nur, dass er 263 seinen Kommentar abschloss.

Die Neun Kapitel der Rechenkunst entstanden in der Han-Zeit. Sie enthalten 246 Aufgaben aus dem Alltag, von Feldern und Getreide über Steuern bis zu Dreiecken und Gleichungen, und waren das wichtigste Rechenbuch des alten China. Einen Überblick gibt der Artikel Chinesische Mathematik.

Die Berechnung von π mit Vielecken

Die Neun Kapitel rechnen mit π = 3. Liu Hui zeigte, dass das zu klein ist. Ein einbeschriebenes regelmäßiges Sechseck hat den Umfang 6r, also das Dreifache des Durchmessers. Der Kreis ist aber länger als sein Sechseck, also muss π größer als 3 sein.

Seine Idee: Man verdoppelt die Eckenzahl immer wieder. Aus dem Sechseck wird ein Zwölfeck, dann ein 24-Eck, dann ein 48-Eck und so fort. Je mehr Ecken, desto weniger unterscheidet sich das Vieleck vom Kreis. Für den Radius 1 folgt aus dem Satz des Pythagoras die Verdopplungsformel für die Seitenlänge a:

Aus der Seite berechnet man die Fläche: Die Fläche des 2n-Ecks ist so groß wie der halbe Umfang des n-Ecks mal der Radius. So entsteht diese Tabelle für den Radius 1, in der die Flächen immer näher an π heranrücken:

Der Clou ist eine zweite Überlegung. Der Kreis ist größer als das 192-Eck, aber kleiner als dieses 192-Eck plus der Zuwachs, den man beim Übergang vom 96-Eck zum 192-Eck gewonnen hat. Der Zuwachs beträgt 3,14103 − 3,13935 = 0,00168. Also gilt 3,1410 < π < 3,1427. Liu Hui selbst nennt 3,141024 und 3,142704, weil er mit gerundeten Wurzeln rechnete. Er wählte 3,14, also den Bruch 157/50, als handlichen Wert. Nach verbreiteter Darstellung führte er das Verfahren bis zum 3072-Eck weiter und erhielt 3,14159, was auf fünf Stellen mit π übereinstimmt. Für diese letzte Stufe, die in einem späteren Zusatz zum Kommentar steht, ist die Urheberschaft unter Fachleuten allerdings umstritten.

Rauminhalte: Pyramiden und die Grenze der Methode

Liu Hui berechnete die Volumen von Prismen, Pyramiden, Kegeln, Zylindern und Kegelstümpfen. Er zeigte unter anderem, dass eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche und einer senkrechten Kante genau ein Drittel des umschließenden Quaders ausfüllt. Dazu zerlegte er die Körper in Teile und teilte diese immer weiter. Das erinnert an die Grenzwerte der Analysis. Den Rauminhalt der Kugel konnte er nicht bestimmen und überließ ihn einem Nachfolger. Gelöst haben ihn später Zu Chongzhi und sein Sohn Zu Geng.

Gleichungssysteme und negative Zahlen

Das achte Kapitel der Neun Kapitel löst Gleichungssysteme mit dem fangcheng-Verfahren („Rechteckschema“). Man legt die Zahlen auf dem Rechenbrett in einem Rechteck aus und rechnet Spalten gegeneinander, bis nur noch eine Unbekannte übrig bleibt. Das entspricht dem Eliminationsverfahren, das in Europa erst im 19. Jahrhundert nach Gauß benannt wurde (siehe Lineare Gleichungssysteme). Das Rechteckschema ist der Vorläufer einer Matrix.

Bei solchen Rechnungen treten Minuszahlen auf. Die Neun Kapitel unterscheiden positive und negative Zahlen durch rote und schwarze Stäbchen, und Liu Hui erklärt die Regeln für Addition und Subtraktion. Wie man heute mit solchen Zahlen rechnet, zeigt der Lernbereich Ganze Zahlen.

Das Haidao suanjing: Messen ohne Hinkommen

Dem Kommentar fügte Liu Hui einen Anhang mit neun Aufgaben zur Landvermessung bei, der später als eigenes Buch überliefert wurde, das Haidao suanjing („Rechenbuch der Inselmessung“). Es zeigt, wie man mit Stäben und Visierlinien unzugängliche Größen bestimmt: die Höhe einer Insel im Meer, die Höhe eines Baumes auf einem Berg, die Tiefe einer Schlucht.

Das Prinzip sind ähnliche Dreiecke. Zwei gleich hohe Stäbe der Höhe a stehen im Abstand d hintereinander. Man peilt die Inselspitze jeweils über die Stabspitze an und misst, wie weit man hinter dem Stab stehen muss: e₁ und e₂. Dann ist die Höhe der Spitze

Mit a = 5, d = 1.000, e₁ = 123 und e₂ = 127 (angelehnt an die erste Aufgabe, Maße in Bu) ergibt sich H = 5 · 1.000 / 4 + 5 = 1.255 Bu, also 4 Li und 55 Bu bei 300 Bu je Li.

Zeitleiste: Liu Hui und seine Nachfolger

1. Han-Zeit Die Neun Kapitel der Rechenkunst entstehen.
2. um 225 Liu Hui wird geboren (Angabe unsicher).
3. 263 Kommentar zu den Neun Kapiteln, dazu der Anhang mit den Messaufgaben.
4. um 295 Tod nach der gängigen Datierung.
5. um 480 Zu Chongzhi findet 355/113 und Schranken für π auf sieben Stellen.
6. 1247 Qin Jiushao knüpft an die chinesische Gleichungslehre an.

Bedeutung heute

Die Idee, eine krumme Größe durch immer feinere gerade Stücke einzuschließen, steckt heute im Herzen der Analysis. Das Rechteckschema der Neun Kapitel ist der Vorläufer der Matrizenrechnung, die jedes Computerprogramm für Gleichungssysteme nutzt. Und das Prinzip der ähnlichen Dreiecke aus dem Haidao suanjing arbeitet in jedem Vermessungsgerät. Mehr zur Geometrie steht im Lernbereich Geometrie; die spätere Entwicklung zeigen die Artikel über Sunzi und Yang Hui.

Häufige Fragen

Wie genau war Liu Huis Wert für π?

Mit dem 192-Eck schloss er π zwischen 3,1410 und 3,1427 ein. Das 3072-Eck liefert 3,14159, also fünf richtige Nachkommastellen.

Was sind die Neun Kapitel der Rechenkunst?

Ein chinesisches Rechenbuch aus der Han-Zeit mit 246 Aufgaben in neun Kapiteln. Liu Hui schrieb 263 den ältesten erhaltenen Kommentar dazu.

Quellen und weiterführende Literatur

• Shen Kangshen, John N. Crossley, Anthony W.-C. Lun: The Nine Chapters on the Mathematical Art. Companion and Commentary, Oxford University Press, Oxford 1999.
• Jean-Claude Martzloff: A History of Chinese Mathematics, Springer, Berlin 1997.
• Tian Se Ang, Frank J. Swetz: A Chinese mathematical classic of the third century: The Sea Island Mathematical Manual of Liu Hui, Historia Mathematica 13 (1986), S. 99–117.
• MacTutor History of Mathematics: Overview of Chinese mathematics (englisch)
• Wikipedia: Liu Hui