Aryabhata

Aryabhata (476–um 550) war ein indischer Mathematiker und Astronom. Im Jahr 499, mit nur 23 Jahren, vollendete er in Kusumapura, dem Gelehrtenzentrum des Gupta-Reiches, das Aryabhatiya. Das schmale Buch in Versen fasst in rund 120 Strophen zusammen, was die indische Mathematik seiner Zeit wusste, und ist sein einziges vollständig erhaltenes Werk. Es enthält Rechenregeln, eine Sinustafel, einen sehr genauen Näherungswert für π und eine Methode für Gleichungen mit ganzzahligen Lösungen.

Aryabhata gilt als Gründer einer Schule, die Indiens Astronomie über Jahrhunderte prägte. Bhaskara I kommentierte sein Buch, Brahmagupta kritisierte es, und über arabische Übersetzungen gelangten seine Methoden in die islamische Welt. Er lehrte außerdem, dass die Erde sich täglich um ihre Achse dreht.

Leben: ein junger Gelehrter in Kusumapura

Von Aryabhatas Leben ist wenig bekannt. Er schreibt, er habe das Aryabhatiya 3.600 Jahre nach dem Beginn des Kali-Yuga-Zeitalters im Alter von 23 Jahren verfasst. Das entspricht dem Jahr 499 und führt auf das Geburtsjahr 476. Kusumapura liegt vermutlich bei Pataliputra, dem heutigen Patna, das damals Hauptstadt des Gupta-Reiches war. Wo Aryabhata geboren wurde, ist dagegen umstritten: Vorgeschlagen werden die Region Ashmaka in Zentral- oder Südindien und Gegenden im Nordosten. Der Hinweis auf Ashmaka beruht auf einer späteren Bemerkung, die möglicherweise Aryabhata mit Bhaskara I verwechselt.

Der Gelehrte al-Bīrūnī hielt ihn im 11. Jahrhundert für zwei verschiedene Personen mit gleichem Namen. Erst 1926 zeigte der Mathematikhistoriker B. Datta, dass es sich um dieselbe Person handelt. Zu unterscheiden ist ein späterer Astronom, Aryabhata II, dessen Lebensdaten zwischen 950 und 1100 geschätzt werden. Weitere Schriften unseres Aryabhata sind verloren und nur in Zitaten erhalten.

Das Aryabhatiya: Wissen in 120 Strophen

Das Buch hat vier Teile: eine Einleitung mit Zahlenwerten und Sinustafel, einen Teil „Rechnen“ mit 33 Versen, einen Teil über Zeitrechnung und Planetenbewegung und einen über die Himmelskugel und Finsternisse. Die Verse sind knapp und zum Auswendiglernen gedacht, Beweise fehlen. Erklärungen lieferten später Kommentatoren, der älteste erhaltene Kommentar stammt von Bhaskara I (629). Aryabhata erfand sogar eine eigene Zahlenschrift: Er ordnete den Buchstaben des Sanskrit-Alphabets Zahlenwerte zu, sodass sich große Zahlen als Silben in einen Vers einbauen ließen.

Der Kreis und die Zahl π

Im Rechenteil steht eine Regel, die Aryabhata in einer Strophe zusammenfasst:

„Addiere 4 zu 100, multipliziere mit 8 und addiere 62.000. Das ist annähernd der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser 20.000.“

Das Ergebnis ist (100 + 4) · 8 + 62.000 = 62.832. Damit ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser 62.832 : 20.000 = 3,1416. Der wahre Wert von π beginnt mit 3,14159, der Fehler beträgt also nur etwa sieben Millionstel. Ungewöhnlich ist das Wort „annähernd“: Er wusste offenbar, dass der Wert nicht ganz genau ist, und manche Forscher vermuten, er habe π schon für irrational gehalten. Wie er auf die Zahl kam, ist unbekannt. Im praktischen Rechnen verwendete er allerdings oft die gröbere Näherung √10 ≈ 3,162.

Der Rechenteil enthält außerdem richtige Flächenformeln für Dreieck und Kreis und Summenformeln für die ersten n Quadrat- und Kubikzahlen. Bei den Rauminhalten von Pyramide und Kugel sind seine Angaben nach der gängigen Lesart falsch. Ob es echte Fehler sind oder Übersetzungsprobleme der knappen Verse, wird bis heute diskutiert.

Die Sinustafel: Halbsehnen statt Sehnen

Für die Himmelskunde brauchte man Tabellen, die zu einem Winkel die passende Strecke am Kreis angeben. Die Griechen, etwa Hipparchos und Ptolemäus, benutzten dafür die ganze Sehne zu einem Winkel. Die indischen Astronomen wechselten zur Hälfte der Sehne, der jya, und das ist nichts anderes als der Sinus. Aryabhata legte einen Viertelkreis mit dem Radius 3.438 Einheiten zugrunde, denn ein Kreis mit dem Umfang 21.600 Winkelminuten hat ungefähr diesen Radius. Seine Tafel enthält 24 Werte im Abstand von 3 Grad 45 Minuten.

Die Tafel stimmt auf eine Einheit genau. Aryabhata gab sie als Folge der Zuwächse an: 225, 224, 222, 219 und so weiter bis 7, verpackt in eine einzige Strophe seiner Buchstabenschrift. Wie man mit solchen Werten Dreiecke berechnet, erklärt die Lernseite zur Trigonometrie.

Kuttaka: Gleichungen mit ganzen Zahlen

Astronomen mussten oft Zeitpunkte finden, an denen sich Himmelszyklen gleichzeitig wiederholen. Das führt auf Gleichungen, deren Lösungen ganze Zahlen sein müssen. Aryabhata beschreibt dafür das kuṭṭaka, den „Zerstäuber“: Man zerlegt die Aufgabe schrittweise in kleinere, bis sie sich von selbst löst. Die Idee gleicht dem euklidischen Algorithmus, den wir bei Euklid finden. Solche Aufgaben tragen heute den Namen von Diophant.

Spätere Gelehrte bauten das Verfahren aus. Brahmagupta und Bhaskara II führten es bis zu schwierigeren Gleichungen weiter.

Astronomie: die Erde dreht sich

Aryabhata erklärte Mond- und Sonnenfinsternisse durch Schatten und widersprach damit der verbreiteten Vorstellung vom Dämon Rahu, der die Gestirne verschlinge. Er wusste, dass Mond und Planeten das Sonnenlicht nur zurückwerfen. Vor allem lehrte er die tägliche Drehung der Erde. Zur Erklärung nutzt er ein Bild: Wer in einem Boot vorwärts fährt, sieht die ruhenden Ufer scheinbar rückwärts ziehen, ebenso erscheinen die Sterne dem Beobachter auf der Erde, als zögen sie nach Westen. Den Sterntag bestimmte er auf 23 Stunden 56 Minuten und 4,1 Sekunden, nahe am heutigen Wert. Die Länge des Jahres gab er mit 365 Tagen, 6 Stunden, 12 Minuten und 30 Sekunden an, gut drei Minuten zu lang.

Zeitleiste

1. 476 Geburt Aryabhatas (errechnet aus seiner Altersangabe).
2. 499 Das Aryabhatiya entsteht in Kusumapura.
3. um 550 Tod Aryabhatas.
4. 628 Brahmagupta kritisiert Aryabhata in seinem Brāhmasphuṭasiddhānta.
5. 629 Bhaskara I schreibt den ältesten erhaltenen Kommentar zum Aryabhatiya.
6. 1926 B. Datta weist nach, dass die zwei „Aryabhatas“ al-Bīrūnīs dieselbe Person sind.
7. 1975 Indiens erster Satellit trägt den Namen Aryabhata.

Was von Aryabhata bleibt

Das Aryabhatiya prägte die Mathematik Indiens für Jahrhunderte, und seine Sinustafel gehört zu den ältesten erhaltenen Indiens. Über den Zwischenweg der arabischen Übersetzungen kam der Sinus nach Europa, und mit ihm ein Gedanke, auf dem alle Winkelrechnung beruht. Das Kuttaka-Verfahren lebt in der Zahlentheorie fort, und die Rechenverfahren seiner Schule stehen bis heute hinter dem indischen Hindu-Kalender. Der Mondkrater Aryabhata und der Satellit von 1975 erinnern an ihn.

Quellen und weiterführende Literatur

• Walter Eugene Clark: The Aryabhatiya of Aryabhata. An Ancient Indian Work on Mathematics and Astronomy, University of Chicago Press, Chicago 1930.
• Kurt Elfering: Die Mathematik des Aryabhata I, Wilhelm Fink Verlag, München 1975.
• Kim Plofker: Mathematics in India, Princeton University Press, Princeton 2009.
• Victor J. Katz (Hrsg.): The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. A Sourcebook, Princeton University Press, Princeton 2007.
• MacTutor History of Mathematics: Aryabhata the Elder (englisch)
• Wikipedia: Aryabhata