Sinus, Kosinus und Tangens berechnen: exakte Werte und Einheitskreis

So benutzt du den Rechner

Gib einen Winkel in Grad ein, etwa 210, oder im Bogenmaß mit π, etwa 7π/6. Der Rechner zeigt Sinus, Kosinus und Tangens, bei besonderen Winkeln als exakte Wurzelausdrücke, und markiert den Winkel am Einheitskreis. Im zweiten Modus gibst du einen Wert wie √3/2 ein und erhältst alle Winkel zwischen 0° und 360°, die dazu passen.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Am Einheitskreis, einem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung, lassen sich Sinus und Kosinus direkt ablesen: Dreht man vom Punkt (1 | 0) aus um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn, landet man im Punkt P(cos α | sin α). Der Kosinus ist die x-Koordinate, der Sinus die y-Koordinate. Der Tangens ist der Quotient sin α : cos α.

Exakte Werte und Bezugswinkel

Für 30°, 45° und 60° gibt es einfache Wurzelwerte, die man sich mit einem halben gleichseitigen Dreieck oder einem halben Quadrat herleiten kann: sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2. Liegt ein Winkel in einem anderen Quadranten, führt man ihn auf einen Bezugswinkel zwischen 0° und 90° zurück und setzt das passende Vorzeichen.

Auch für 15°, 18°, 22,5°, 36° und 72° kennt der Rechner exakte Werte, etwa sin 15° = (√6 − √2)/4 ≈ 0,2588 oder cos 36° = (√5 + 1)/4 ≈ 0,809. Die Werte für 36° und 72° hängen mit dem regelmäßigen Fünfeck und dem Goldenen Schnitt zusammen.

Umkehrung: alle Winkel zu einem Wert

Die Taste sin⁻¹ (arcsin) liefert nur einen Winkel zwischen −90° und 90°. Zu sin α = √3/2 gehören aber zwischen 0° und 360° zwei Winkel: 60° und 120°, denn der Sinus ist symmetrisch zur y-Achse. Beim Kosinus liegen die beiden Lösungen symmetrisch zur x-Achse (cos α = −0,5 bei 120° und 240°), beim Tangens im Abstand von 180° (tan α = 1 bei 45° und 225°).

Aus der Geschichte: von der Sehne zum Sinus

Die ersten trigonometrischen Tafeln stellte Hipparchos im 2. Jahrhundert v. Chr. auf. Er arbeitete noch mit ganzen Kreissehnen. Indische Astronomen wie Aryabhata nutzten um 500 die halbe Sehne, die jya, das ist unser Sinus. Wie aus diesem Wort über das Arabische der lateinische sinus wurde, erzählt das Kapitel Trigonometrie.

Häufige Fragen