Steckbrief-Rechner: ganzrationale Funktion aus Bedingungen bestimmen

So benutzt du den Rechner

Wähle den Grad der gesuchten Funktion und, falls bekannt, ihre Symmetrie. Schreibe dann jede Bedingung in eine eigene Zeile. Ein Punkt P(2 | 5) wird zu f(2) = 5, ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt bei x = 1 zu f'(1) = 0, eine Wendestelle bei x = 3 zu f''(3) = 0. Liegt ein Extrempunkt bei P(1 | −7), brauchst du zwei Zeilen: f(1) = -7 und f'(1) = 0.

Ein Beispiel

Gesucht ist eine Funktion dritten Grades, die durch den Ursprung geht, bei P(1 | −7) einen Tiefpunkt und bei x = 3 eine Wendestelle hat. Der Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d hat vier Unbekannte, also braucht man vier Bedingungen:

• f(0) = 0 ergibt d = 0.
• f(1) = −7 ergibt a + b + c + d = −7.
• f′(1) = 0 ergibt 3a + 2b + c = 0, denn f′(x) = 3ax² + 2bx + c.
• f″(3) = 0 ergibt 18a + 2b = 0, denn f″(x) = 6ax + 2b.

Das Gauß-Verfahren liefert a = −1, b = 9, c = −15 und d = 0. Die gesuchte Funktion ist f(x) = −x³ + 9x² − 15x. Die Probe bestätigt alle vier Bedingungen.

Symmetrie spart Arbeit

Ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, kommen nur gerade Exponenten vor, bei Punktsymmetrie zum Ursprung nur ungerade. Dann hat der Ansatz weniger Unbekannte, und man braucht weniger Bedingungen. Eine achsensymmetrische Funktion vierten Grades, die die y-Achse bei 1 schneidet und bei P(2 | −15) eine waagerechte Tangente hat, braucht nur drei Bedingungen. Der Rechner findet f(x) = x⁴ − 8x² + 1.

Wie man Steckbriefe in Gleichungen übersetzt, erklärt die Lernseite Steckbriefaufgaben, üben kannst du mit dem Arbeitsblatt Steckbriefaufgaben. Die gefundene Funktion untersucht der Rechner für Kurvendiskussionen, beliebige Gleichungssysteme löst der Gleichungssystem-Rechner.

Häufige Fragen