Lineare Gleichungs­systeme lösen: Rechner mit Gauß-Verfahren

So benutzt du den Rechner

Wähle die Anzahl der Gleichungen und trage die Zahlen vor den Variablen ein, die Koeffizienten. Rechts vom Gleichheitszeichen steht die Zahl ohne Variable. Kommt eine Variable in einer Gleichung nicht vor, trägst du 0 ein. Steht nur x da, ist der Koeffizient 1, bei −y ist er −1.

Vorher musst du jede Gleichung so ordnen, dass alle Variablen links in derselben Reihenfolge stehen. Aus y = 2x − 1 wird −2x + y = −1.

Das Gauß-Verfahren

Der Rechner arbeitet mit dem Gauß-Jordan-Verfahren, benannt nach Carl Friedrich Gauß. Er schreibt das System als erweiterte Koeffizientenmatrix und formt sie Zeile für Zeile um. Erlaubt sind drei Umformungen, die die Lösungen nicht verändern:

1. zwei Zeilen vertauschen,
2. eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren,
3. ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren.

Ziel ist eine Matrix mit Einsen auf der Diagonale und Nullen darüber und darunter. Dann steht die Lösung direkt in der letzten Spalte. Weil der Rechner mit exakten Brüchen arbeitet, entstehen keine Rundungsfehler, auch bei unschönen Zahlen nicht. Das Verfahren entspricht dem Additionsverfahren aus der Schule, nur systematisch für beliebig viele Gleichungen.

Eine, keine oder unendlich viele Lösungen

Ein lineares Gleichungssystem hat immer genau einen dieser drei Fälle:

• Genau eine Lösung: Jede Variable bekommt einen festen Wert. Bei zwei Variablen schneiden sich die beiden Geraden in einem Punkt.
• Keine Lösung: Beim Umformen entsteht ein Widerspruch wie 0 = 1. Die Geraden sind parallel.
• Unendlich viele Lösungen: Eine Zeile wird komplett 0 = 0. Die Geraden liegen aufeinander. Der Rechner gibt dann die Lösungsmenge mit frei wählbaren Variablen an, die Parameterlösung.

Die Schulverfahren Einsetzen, Gleichsetzen und Addieren erklärt das Kapitel Lineare Gleichungssysteme mit vielen Beispielen.

Wo braucht man Gleichungssysteme?

Gleichungssysteme stecken in vielen Textaufgaben: Im Hof stehen Hühner und Kaninchen, zusammen 35 Köpfe und 94 Beine. Mit h + k = 35 und 2h + 4k = 94 ergibt sich h = 23 und k = 12. In der Oberstufe bestimmst du mit ihnen Funktionsgleichungen durch vorgegebene Punkte (Steckbriefaufgaben), in Technik und Wirtschaft lösen Computer Systeme mit Millionen Gleichungen.

Häufige Fragen