Trinome

Ein Trinom ist ein Term aus genau drei Gliedern, die mit Plus oder Minus verbunden sind, zum Beispiel x² + 5x + 6 oder 3a + 6b − 9c. Das Wort kommt aus dem Lateinischen: tri heißt „drei“, nomen hier „Glied“. Meist sind quadratische Trinome der Form ax² + bx + c gemeint, die du von den quadratischen Gleichungen kennst.

Trinome faktorisieren heißt, sie in ein Produkt zu verwandeln, zum Beispiel x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). Das brauchst du, um Gleichungen zu lösen, Brüche zu kürzen (rationale Ausdrücke) und Terme zu vereinfachen. Hier lernst du vier Wege: den größten gemeinsamen Teiler, die binomischen Formeln, das Ausprobieren mit dem Satz von Vieta und den Umgang mit zwei Variablen.

Was ist ein Trinom?

Zähle die Glieder erst, nachdem du gleichartige Terme zusammengefasst hast. Aus 2x + 3x + 5 wird 5x + 5, und das ist nur ein Binom mit zwei Gliedern (siehe Terme vereinfachen).

Trinome faktorisieren: Grundlagen

Faktorisieren ist das Gegenteil von Ausmultiplizieren. Beim Ausmultiplizieren von (x + 3)(x + 4) multiplizierst du jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem der zweiten (Summe mal Summe): x · x + x · 4 + 3 · x + 3 · 4 = x² + 7x + 12. Ein Flächenmodell zeigt, warum das stimmt.

Beim Faktorisieren läuft die Rechnung rückwärts: Aus den vier Teilflächen liest du die Seitenlängen des großen Rechtecks ab. Dabei steckt hinter den Zahlen ein Muster: Die 7 ist die Summe 3 + 4, die 12 ist das Produkt 3 · 4.

Faktorisierung über den größten gemeinsamen Teiler (ggT)

Haben alle drei Glieder einen gemeinsamen Teiler, ziehst du ihn vor eine Klammer. Das ist das Distributivgesetz rückwärts (Ausklammern). Der größte gemeinsame Teiler der Zahlen und die kleinste vorkommende Potenz der Variablen gehören nach vorn.

Faktorisierung durch Ausprobieren (Trial and Error)

Steht vor x² nur die 1, gilt (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn. Du suchst also zwei Zahlen m und n mit m + n = b und m · n = c. Das ist der Satz von Vieta, benannt nach François Viète. Du schreibst alle Zahlenpaare mit dem Produkt c auf und suchst das mit der passenden Summe. Die Vorzeichen verraten dir vorher, wo du suchen musst:

Steht vor x² eine Zahl a größer als 1, suchst du zwei Zahlen mit dem Produkt a · c und der Summe b. Mit ihnen zerlegst du das mittlere Glied und klammerst zweimal aus (Gruppieren).

Trinome mit zwei Variablen

Trinome wie x² + 5xy + 6y² zerlegst du genauso. Du behandelst y wie eine Zahl: Gesucht sind zwei Zahlen mit der Summe 5 und dem Produkt 6, also 2 und 3. Es folgt (x + 2y)(x + 3y).

Geschichte: zwei Zahlen mit Summe und Produkt

Das Ausprobieren mit Summe und Produkt ist uralt. Auf der babylonischen Tafel YBC 6967 sind zwei Zahlen gesucht, die sich um 7 unterscheiden und das Produkt 60 haben (siehe babylonische Algebra). Die Faktorpaare von 60 liefern die Antwort: 12 und 5. Im 16. Jahrhundert fasste François Viète solche Beziehungen zwischen Zahlen und Koeffizienten in Regeln, und Euler bemerkte im 18. Jahrhundert, dass ein einfaches Trinom erstaunlich viele Primzahlen liefert.

Wie du die Faktoren zum Lösen von Gleichungen nutzt, zeigen die quadratischen Gleichungen. Beim Kürzen von Brüchen helfen sie auch (Rationale Ausdrücke), und Terme mit mehr als drei Gliedern gehören zu den Polynomen.

Häufige Fragen

Kann man jedes Trinom faktorisieren?

Mit reellen Zahlen nur dann, wenn die Diskriminante D = b² − 4ac nicht negativ ist. Mit ganzen Zahlen gelingt es außerdem nur, wenn D eine Quadratzahl ist.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Bartel L. van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik, Birkhäuser, Basel 1956.
• MacTutor History of Mathematics: François Viète (englisch)
• Wikipedia: Trinom