Binome ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz

Ein Binom ist ein Term mit zwei Gliedern, etwa x + 3 oder 2a − 5b (lateinisch bi heißt „zwei“). Multiplizierst du zwei Binome, entstehen vier Produkte: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Sind beide Klammern gleich oder fast gleich, geht es noch schneller, nämlich mit den binomischen Formeln. Mit ihnen rechnest du sogar im Kopf, zum Beispiel 49 · 51 = 50² − 1 = 2.499.

Auf dieser Seite wendest du das Distributivgesetz zweimal hintereinander an (Distributivgesetz, genauer auf der Seite Ausmultiplizieren von Klammern). Danach folgen die drei Formeln mit Flächenbild und Rechentricks. Du brauchst sie später bei quadratischen Gleichungen und Polynomen. Zur Vorbereitung dient Multiplikation von Ausdrücken.

Zwei Binome ausmultiplizieren

Du wendest das Distributivgesetz zweimal an. Zuerst behandelst du die zweite Klammer als Block: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d). Dann multiplizierst du jede Klammer aus und erhältst ac + ad + bc + bd. Am Ende fasst du gleichartige Terme zusammen.

Die drei binomischen Formeln

Besonders oft kommen Klammern vor, die zweimal dieselbe Summe oder Differenz enthalten, oder die sich nur im Vorzeichen unterscheiden. Dafür gibt es drei feste Muster.

Erste Formel: das Quadrat einer Summe

Es gilt (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b². Weil ab = ba ist, werden die beiden mittleren Produkte zu 2ab. Das Bild zeigt, warum: Ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b zerfällt in zwei Quadrate und zwei gleiche Rechtecke.

Zweite Formel: das Quadrat einer Differenz

Hier gilt (a − b)² = (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b² = a² − 2ab + b². Das Mittelglied hat ein Minus, das letzte Glied b² bleibt positiv.

Dritte Formel: Summe mal Differenz

Es gilt (a + b)(a − b) = a² − ab + ba − b² = a² − b². Die Mittelglieder −ab und +ba heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt die Differenz der Quadrate.

Kopfrechentricks

Die Formeln machen aus schwierigen Aufgaben leichte. Du suchst eine runde Zahl in der Nähe und rechnest mit dem Abstand.

Die Faustregel stimmt, weil (10n + 5)² = 100n² + 100n + 25 = 100 · n(n + 1) + 25 ist.

Rückwärts: Formeln erkennen

Du kannst die Formeln auch von rechts nach links lesen. Dann machst du aus einer Summe ein Produkt, das nennt man Faktorisieren. Prüfe bei einem Term mit drei Gliedern, ob das erste und das letzte Glied Quadrate sind und das mittlere Glied das Doppelte des Produkts der beiden Grundzahlen ist. Mit zwei Gliedern prüfst du auf eine Differenz von Quadraten.

Dieses Erkennen ist der Schlüssel zum Lösen vieler Gleichungen, mehr dazu bei Quadrat einer Summe und Differenz zweier Quadrate. Für höhere Hochzahlen, etwa (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³, gibt es den binomischen Lehrsatz.

Weiter geht es mit dem Lösen von quadratischen Gleichungen, bei dem du die Formeln ständig brauchst. Wie du Klammern, Potenzen und Zusammenfassen mischst, übst du bei Terme vereinfachen, und die Hochzahlen erklärt die Seite Potenzen und Exponenten.