Johannes Kepler

Johannes Kepler (1571–1630) war ein deutscher Mathematiker, Astronom und Naturphilosoph. Er entdeckte die drei nach ihm benannten Gesetze der Planetenbewegung und zeigte dabei, dass die Planeten die Sonne auf Ellipsen umkreisen und nicht auf Kreisen, wie man seit der Antike angenommen hatte. Damit ebnete er den Weg für die Mechanik Isaac Newtons.

Weniger bekannt ist, dass Kepler auch rein mathematische Spuren hinterlassen hat. Er berechnete den Inhalt von Weinfässern, stellte die Frage nach der dichtesten Packung von Kugeln, beschrieb zwei neue regelmäßige Sternkörper und verhalf den Logarithmen zum Durchbruch in der Astronomie. Kepler lebte in der Mathematik des 17. Jahrhunderts, in einer Zeit, in der Beobachtung, Rechnung und Mystik noch eng beieinander lagen.

Leben: vom Stipendiaten zum kaiserlichen Mathematiker

Kepler wurde 1571 in der Reichsstadt Weil der Stadt bei Stuttgart geboren. Seine Familie war verarmt, sein Vater Söldner, seine Mutter Katharina eine Kräuterfrau. Ein Stipendium brachte ihn 1589 an das Evangelische Stift in Tübingen, wo er Theologie studierte. Dort lehrte ihn Michael Mästlin die Astronomie des Nikolaus Kopernikus, und Kepler wurde zum überzeugten Anhänger des Weltbilds mit der Sonne im Mittelpunkt.

Statt Pfarrer zu werden, nahm Kepler 1594 eine Stelle als Mathematiklehrer an der evangelischen Stiftsschule in Graz an. Dort schrieb er sein erstes Buch, das Mysterium Cosmographicum (1596). 1597 heiratete er Barbara Müller. Als in Graz die Gegenreformation durchgesetzt wurde, musste die protestantische Familie 1600 die Stadt verlassen. Kepler folgte einer Einladung des Astronomen Tycho Brahe nach Prag.

Brahe besaß die genauesten Planetenmessungen seiner Zeit, aber nicht die mathematische Kraft, sie zu deuten. Als er im Oktober 1601 überraschend starb, wurde Kepler Hofmathematiker Kaiser Rudolfs II. und erbte die Aufgabe, mit Brahes Daten neue Planetentafeln zu berechnen. Aus dieser Arbeit entstand 1609 die Astronomia nova.

Nach dem Tod seiner ersten Frau im Jahr 1611 und dem Tod Rudolfs 1612 zog Kepler nach Linz. Dort heiratete er 1613 Susanne Reuttinger. Von 1615 an kämpfte er um die Freilassung seiner Mutter, die der Hexerei angeklagt war, und erreichte sie 1621. Die Gegenreformation machte ihm auch in Linz das Leben schwer. 1626 verließ er die Stadt, ließ 1627 in Ulm seine Rudolfinischen Tafeln drucken und stand zuletzt im Dienst des Feldherrn Wallenstein. Im Herbst 1630 reiste Kepler nach Regensburg, um ausstehendes Gehalt einzufordern. Dort starb er kurz nach der Ankunft an einem Fieber.

Die Keplerschen Gesetze und die Ellipse

Kepler wertete jahrelang Brahes Beobachtungen des Planeten Mars aus. Zuerst versuchte er es mit Kreisbahnen, wie sie die antike Astronomie kannte. Die beste Kreisbahn wich aber immer noch um acht Bogenminuten von den Messungen ab, etwa ein Viertel des Monddurchmessers. Das war für Kepler zu viel, er suchte weiter. Nach vielen Fehlversuchen fand er, dass die Marsbahn am besten durch eine Ellipse beschrieben wird, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Die Astronomia nova (1609) enthält die ersten beiden Gesetze, das dritte folgte in den Harmonices mundi libri V (1619).

Die Ellipse gehört zu den Kegelschnitten, die schon Apollonios im 3. und 2. Jahrhundert v. Chr. untersucht hatte; mehr dazu steht auf der Seite Kegelschnitte. Neu war Keplers Einsicht, dass die Natur diese Kurve wirklich benutzt. Das zweite Gesetz erklärt, warum ein Planet in Sonnennähe schneller läuft als in Sonnenferne. Das dritte Gesetz verbindet die Bahngröße mit der Umlaufzeit, und zwar über eine Potenzfunktion, die auch bei den Potenzfunktionen vorkommt.

Eine Astronomische Einheit (AE) ist der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne. Die Quadrate der Umlaufzeiten und die dritten Potenzen der Halbachsen stimmen in dieser Einheit überein. Kepler fand das Gesetz durch jahrelanges Probieren und wusste noch nicht, warum es gilt. Die Erklärung lieferte Ende des 17. Jahrhunderts Newton: Die drei Gesetze folgen aus seinem Gravitationsgesetz, wenn die Anziehung mit dem Quadrat des Abstands abnimmt.

Nova stereometria: die Mathematik der Weinfässer

Im Herbst 1613 feierte Kepler in Linz seine zweite Hochzeit und kaufte dafür Wein. Als die Fässer im Keller lagen, bestimmte der Händler ihren Inhalt mit einer Messrute, die er schräg durch das Spundloch bis zu den Rändern der Böden steckte. Er verfuhr bei allen Fässern gleich, ob sie bauchig oder schlank gebaut waren. Kepler fragte sich, wie eine solche Messung überhaupt stimmen kann.

Aus der Frage wurde ein Buch, die Nova stereometria doliorum vinariorum („Neue Stereometrie der Weinfässer“), 1615 in Linz gedruckt. Kepler berechnete darin die Rauminhalte von Körpern, die durch Drehen einer Fläche um eine Achse entstehen, und knüpfte dabei an Archimedes an. Er zerlegte die Körper gedanklich in unendlich viele dünne Teile. Diese Denkweise bereitete die Methode der Unteilbaren von Bonaventura Cavalieri vor, mit der sich auch der Jesuit Paul Guldin kritisch auseinandersetzte.

Aus Keplers Verfahren ging die Keplersche Fassregel hervor. Sie schätzt den Inhalt eines Fasses aus drei Querschnitten, unten, in der Mitte und oben. Heute kennt man dieselbe Rechnung als Simpson-Regel der numerischen Integration. Ein Rechenbeispiel steht bei den Rotationskörpern.

Kugelpackung und Schneeflocke: die Kepler-Vermutung

Zu Neujahr 1611 schenkte Kepler einem Gönner ein kleines Büchlein, die Strena seu de nive sexangula („Neujahrsgabe oder Über die sechseckige Schneeflocke“). Er fragte darin, warum Schneeflocken immer sechs Arme haben. Dabei überlegte er, wie sich gleich große Kugeln am dichtesten stapeln lassen, so wie Händler Orangen aufschichten. Er vermutete: Dichter geht es nicht. Eine solche Packung füllt etwa 74 Prozent des Raumes, genauer π/√18 ≈ 0,7405.

Einen Beweis hatte Kepler nicht. Carl Friedrich Gauß zeigte 1831, dass die Vermutung stimmt, wenn die Kugeln in einem regelmäßigen Gitter liegen. David Hilbert nahm die Frage 1900 in seine Liste der ungelösten Probleme auf. 1998 legte Thomas Hales einen Beweis vor, der stark auf Computerrechnungen beruhte. Das Projekt Flyspeck prüfte ihn bis 2014 vollständig mit Beweisassistenten, die Fachzeitschrift Forum of Mathematics, Pi nahm den formalen Beweis 2017 an. Wie das ablief, erzählt die Mathematik des 21. Jahrhunderts. Die Kepler-Vermutung gilt als Beispiel dafür, wie lange eine einfach klingende Frage offen bleiben kann; der Magazinbeitrag KI und Beweise nennt sie als Beispiel für Computerbeweise. Mehr über Schneeflocken, Bienenwaben und Kugeln steht im Beitrag Warum Schneeflocken sechs Ecken haben.

Polyeder und das Geheimnis des Weltbaus

Schon das erste Buch, das Mysterium Cosmographicum, war ein mathematischer Entwurf. Kepler fragte, warum es genau sechs Planeten gibt und warum ihre Bahnen gerade diese Abstände haben. Seine Antwort: Man schachtelt die fünf Platonischen Körper ineinander, jeweils zwischen zwei Kugeln, und erhält die Abstände der Planetenbahnen. Das Modell traf die damaligen Werte nur ungefähr, und Kepler selbst überholte es später mit seinen Planetengesetzen. Er hielt aber ein Leben lang an der Idee fest, dass die Welt nach einem mathematischen Plan gebaut ist. Mehr zu den fünf Körpern steht bei Platon.

In den Harmonices mundi (1619) ging Kepler weiter. Er untersuchte, wie sich regelmäßige Vielecke zu Mustern zusammensetzen lassen, zeigte, dass es genau 13 Archimedische Körper gibt, und erkannte um 1619 zwei regelmäßige Sternkörper, die man aus dem Dodekaeder gewinnt, indem man seine Kanten verlängert. Der französische Mathematiker Louis Poinsot fand 1809 diese Körper wieder und entdeckte zwei weitere. Alle vier heißen heute Kepler-Poinsot-Körper.

Logarithmen und die Rudolfinischen Tafeln

Die Planetentafeln, die Kepler im Auftrag des Kaisers berechnete, verlangten Berge von Multiplikationen. Als John Napier 1614 die Logarithmen veröffentlichte, erkannte Kepler ihren Nutzen. Napier hatte aber nur Tafeln und Regeln geliefert, nicht den Weg dahin, sodass viele Gelehrte den Tafeln misstrauten. Kepler schrieb deshalb eine eigene Erklärung des Prinzips und berechnete neue Tafeln. Sie erschienen 1624 als Chilias logarithmorum in Marburg. Mehr über das Rechnen mit Logarithmen steht auf der Seite Logarithmen.

1627 erschienen in Ulm die Rudolfinischen Tafeln. Sie gaben die Planetenorte so genau an wie keine Tafeln zuvor; der mittlere Fehler lag bei etwa einem Dreißigstel der älteren Werte. Mit ihnen rechneten Astronomen jahrzehntelang, und ihre Treffsicherheit überzeugte viele von Keplers Gesetzen.

Zeitleiste: Johannes Keplers Leben

1. 1571 Geburt in Weil der Stadt am 27. Dezember (julianisch)
2. 1594 Lehrer für Mathematik an der Stiftsschule in Graz
3. 1596 Mysterium Cosmographicum mit dem Modell der ineinander geschachtelten Platonischen Körper
4. 1601 Nach Tycho Brahes Tod kaiserlicher Mathematiker in Prag
5. 1609 Astronomia nova mit den ersten beiden Planetengesetzen
6. 1611 Strena seu de nive sexangula mit der Frage nach der dichtesten Kugelpackung
7. 1615 Nova stereometria doliorum vinariorum in Linz
8. 1619 Harmonices mundi mit dem dritten Gesetz und den Sternkörpern
9. 1627 Rudolfinische Tafeln in Ulm
10. 1630 Tod in Regensburg am 15. November (gregorianisch)

Bedeutung und Nachwirkung

Keplers Gesetze machten aus dem Sonnensystem ein Gebilde, das sich berechnen lässt. Newton fand später die Kraft dahinter und baute darauf seine Mechanik. In der Mathematik wirkte Kepler auf mehreren Wegen: Seine Fragen zu Fässern führten zur Integralrechnung, die Frage nach den Kugeln beschäftigt die Mathematik bis in die Gegenwart, und seine Sternkörper sind ein Grundbaustein der Geometrie der Polyeder. Dass er seine Rechnungen offen darlegte, auch seine Fehlversuche, macht seine Schriften bis heute zu einer Quelle für alle, die sehen wollen, wie Forschung wirklich abläuft.

Quellen und weiterführende Literatur

• Max Caspar: Johannes Kepler, Kohlhammer, Stuttgart 1948.
• Max Caspar (Hrsg.): Johannes Kepler: Gesammelte Werke, C. H. Beck, München, seit 1937.
• Johannes Kepler: Strena seu de nive sexangula, Frankfurt 1611. Englische Ausgabe: The Six-Cornered Snowflake, übersetzt von Colin Hardie, Clarendon Press, Oxford 1966.
• Thomas C. Hales: A proof of the Kepler conjecture. In: Annals of Mathematics 162 (2005), S. 1065–1185.
• MacTutor History of Mathematics: Johannes Kepler (englisch)
• Wikipedia: Johannes Kepler