Bonaventura Cavalieri

Bonaventura Cavalieri (1598–1647) war ein italienischer Mathematiker und Astronom, der als Mönch des Jesuatenordens lebte und von 1629 bis zu seinem Tod an der Universität Bologna lehrte. Berühmt wurde er durch das Prinzip von Cavalieri: Zwei Körper, die gleich hoch sind und auf jeder Höhe gleich große Querschnitte haben, besitzen dasselbe Volumen. Das klingt nach Schulstoff, und tatsächlich begründet man damit noch heute Volumenformeln.

Hinter dem Prinzip steckt eine große Idee. Man zerlegt eine Fläche in unzählige Linien und einen Körper in unzählige dünne Scheiben und vergleicht diese Stück für Stück. Diese Methode der Unteilbaren (lateinisch indivisibilia) gehört zu den Vorläufern der Integralrechnung, die wenige Jahrzehnte später Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz zu einem allgemeinen Verfahren ausbauten. In der Mathematik des 17. Jahrhunderts zählt Cavalieri deshalb zu den wichtigsten Wegbereitern des Rechnens mit dem Unendlichen.

Leben: Vom Jesuaten zum Professor in Bologna

Cavalieri kam 1598 als Francesco Cavalieri zur Welt, vermutlich in Mailand; den Geburtsort kennt man nicht sicher. Mit etwa 17 Jahren trat er 1615 in Mailand in den Orden der Jesuaten ein und nahm den Namen Bonaventura an. Dieser Orden war 1360 gegründet worden und wurde 1668 von Papst Clemens IX. aufgelöst.

Zur Mathematik kam Cavalieri durch Benedetto Castelli, einen Schüler Galileo Galileis. Castelli führte ihn ab 1616 in die Geometrie von Euklid, Archimedes und Apollonios ein. Galilei wurde für Cavalieri zum Vorbild und Meister: Zwischen 1619 und 1641 schrieb er ihm weit über hundert Briefe, auf die Galilei nur zum Teil antwortete. Um die Mathematikprofessur in Bologna bewarb sich Cavalieri erstmals 1619, galt aber als zu jung. 1629 erhielt er die Stelle, auch dank Galileis Fürsprache. Der große Physiker schrieb, seit Archimedes habe kaum jemand so tief in die Geometrie geblickt.

Der Lehrstuhl wurde Cavalieri zunächst für eine dreijährige Probezeit übertragen und danach mehrfach verlängert, zuletzt 1646 um zwölf Jahre. Er blieb in Bologna, bis er am 30. November 1647 starb, wenige Monate nach dem Erscheinen seines letzten großen Werks, der Exercitationes geometricae sex („Sechs geometrische Übungen“).

Das Prinzip von Cavalieri

Die Idee lässt sich an einem Stapel Münzen zeigen. Steht er gerade, bildet er einen Zylinder. Schiebt man die Münzen seitlich gegeneinander, entsteht ein schiefer Stapel. Die Zahl der Münzen, die Höhe und die Größe jeder einzelnen Münze sind gleich geblieben, also hat sich auch das Volumen nicht verändert. Cavalieri verallgemeinerte diese Beobachtung zu einer Regel, die für beliebig geformte Körper gilt.

Cavalieri formulierte das Prinzip nicht so knapp wie heute. Er sprach von „allen Linien“ einer Figur und „allen Ebenen“ eines Körpers. Der Gedanke ist aber derselbe, und er war nicht ganz neu: Johannes Kepler hatte schon 1604 und 1615 ähnlich gedacht, etwa bei der Berechnung von Fässern. Die Methode des Archimedes, die in dieselbe Richtung ging, war damals verschollen und wurde erst 1906 wiederentdeckt.

Ein berühmtes Beispiel: das Volumen der Kugel

Verglichen werden zwei Körper mit gleicher Höhe r. Der erste ist eine Halbkugel mit dem Radius r. Der zweite ist ein Zylinder mit Radius r und Höhe r, aus dem man einen Kegel herausgenommen hat: Die Spitze des Kegels liegt unten in der Mitte der Grundfläche, seine Grundfläche bildet den Deckel des Zylinders.

In der Höhe h über der Grundfläche ergibt sich:

• Der Schnitt durch die Halbkugel ist eine Kreisscheibe. Ihr Radius ist nach dem Satz des Pythagoras √(r² − h²), ihre Fläche also π · (r² − h²).
• Der Schnitt durch den Zylinder ohne Kegel ist ein Kreisring. Der äußere Kreis hat den Radius r. Der innere Kreis, den der Kegel freilässt, hat den Radius h, denn der Kegel ist genauso hoch wie breit. Die Fläche beträgt π · r² − π · h² = π · (r² − h²).

Auf jeder Höhe sind die Flächen gleich groß, also haben nach Cavalieri auch die Körper dasselbe Volumen. Damit lässt sich das Kugelvolumen mit Schulmitteln herleiten:

Die Methode der Unteilbaren

Seine Gedanken legte Cavalieri in der Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota dar („Geometrie der Kontinua, auf neue Weise mithilfe der Unteilbaren vorangebracht“). Das Buch war Ende 1627 fertig, erschien aber erst 1635. Cavalieri betrachtet darin eine ebene Figur als die Gesamtheit ihrer parallelen Linien und einen Körper als die Gesamtheit seiner parallelen Ebenen. Diese Linien und Ebenen nannte er „Unteilbare“, weil sie keine Dicke mehr haben und sich nicht weiter zerlegen lassen.

Der Jesuit Paul Guldin, ein angesehener Geometer, griff die Methode scharf an. Seine Kritik: Eine Linie hat keine Breite, also könne man mit noch so vielen Linien keine Fläche füllen. Cavalieri antwortete in den Exercitationes geometricae sex (1647). Er behauptete gar nicht, eine Fläche bestehe aus Linien. Er verglich nur „alle Linien“ zweier Figuren miteinander, und das genügt, um Verhältnisse von Flächen und Volumen zu bestimmen. Heute begründet man das Prinzip mit dem Integralbegriff und kann zeigen, dass Cavalieri recht hatte.

Der Weg zur Integralrechnung

Mit seiner Methode berechnete Cavalieri Flächen unter Kurven. Das einfachste Beispiel ist die Parabel y = x² zwischen x = 0 und x = 1. Ihre Fläche entspricht der Summe aller senkrechten Linien der Länge x². Zerlegt man die Strecke von 0 bis 1 in n gleiche Teile, haben die Linien die Längen (k/n)² für k = 1 bis n. Ihre Summe, mit dem Abstand 1/n multipliziert, ergibt (1² + 2² + … + n²)/n³. Mit wachsendem n nähert sich dieser Wert immer mehr dem Bruch ⅓:

Die Fläche unter der Parabel ist also ein Drittel des umschließenden Quadrats. Cavalieri verallgemeinerte das: Die Fläche unter der Kurve y = xⁿ von 0 bis a beträgt aⁿ⁺¹/(n+1). Er kam dabei bis zur neunten Potenz. In heutiger Schreibweise:

Für beliebige ganze Exponenten fand kurz darauf auch Pierre de Fermat Beweise, und John Wallis dehnte die Formel in den 1650er-Jahren auf Bruchzahlen als Exponenten aus. Das war der Boden, auf dem Newton und Leibniz aufbauten: Sie erkannten, dass die Flächenberechnung die Umkehrung der Steigungsberechnung ist.

Weitere Arbeiten: Brennspiegel und Logarithmen

Cavalieri war mehr als ein Geometer. In Lo specchio ustorio („Der Brennspiegel“, 1632) untersuchte er gekrümmte Spiegel, die Licht in einem Punkt sammeln, und beschrieb ein Fernrohr mit Hohlspiegel. Manche Historiker sehen ihn deshalb als frühen Erfinder des Spiegelteleskops. Außerdem machte er in Italien die Logarithmen bekannt, indem er Tafeln für Astronomen berechnete.

Zeitleiste: Bonaventura Cavalieris Leben

1. 1598 Geburt als Francesco Cavalieri, vermutlich in Mailand
2. 1615 Eintritt in den Jesuatenorden, Ordensname Bonaventura
3. 1629 Berufung auf den Mathematiklehrstuhl in Bologna
4. 1632 Lo specchio ustorio über Brennspiegel
5. 1635 Erscheinen der Geometria indivisibilibus
6. 1647 Exercitationes geometricae sex; Tod am 30. November in Bologna

Bedeutung und Nachwirkung

Cavalieris Methode war bequem und lieferte rasch Ergebnisse. Evangelista Torricelli, Blaise Pascal, Fermat und Wallis entwickelten sie weiter. Ein strenges Fundament fehlte allerdings; diese Lücke füllte erst die Integralrechnung des 19. Jahrhunderts.

Heute begegnet man seinem Namen vor allem im Unterricht der Geometrie: Mit dem Prinzip von Cavalieri begründet man, warum ein schiefes Prisma dasselbe Volumen hat wie ein gerades, warum alle Pyramiden mit gleicher Grundfläche und Höhe gleich viel fassen und warum die Kugel das Volumen 4/3 · π · r³ hat. In der Analysis lebt seine Idee in jedem Integral weiter: Das Integralzeichen ∫ ist ein in die Länge gezogenes „S“ für „Summe“, und gemeint ist genau das, was Cavalieri „alle Linien“ nannte.

Quellen und weiterführende Literatur

• Carl B. Boyer: The History of the Calculus and Its Conceptual Development. Dover Publications, New York 1959.
• Kirsti Andersen: Cavalieri’s Method of Indivisibles. In: Archive for History of Exact Sciences 31 (1985).
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Springer, Berlin 2008/2009.
• MacTutor History of Mathematics: Bonaventura Cavalieri (englisch)
• Wikipedia: Bonaventura Cavalieri