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Geschichte der Mathematik

Arbeitsblatt · Klasse 7–8

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal: Aufgaben mit Lösungen

Ein Blatt für Klasse 7: Du konstruierst Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Lot, baust Dreiecke aus gegebenen Stücken nach und bestimmst Umkreis, Inkreis und Ortslinien. Die Lösungen nennen die Maße zum Kontrollieren.

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Erklärung: Geometrische Konstruktionen

Für dieses Blatt brauchst du Zirkel, Lineal (nur zum Zeichnen von Geraden, nicht zum Messen der Konstruktionsschritte), Bleistift und Papier. Lass alle Zirkelbögen stehen, sie gehören zur Konstruktion. Die Verfahren stehen auf der Seite Geometrische Konstruktionen. Zum Kontrollieren darfst du am Ende messen.

Teil A: Werkzeuge, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Lot

Aufgabe: Konstruiere und beantworte die Fragen.

  1. Welche Werkzeuge sind bei einer Konstruktion erlaubt, und wozu dient die Strecke, die man mit dem Zirkel abgreift?
  2. Zeichne eine Strecke AB mit |AB| = 6 cm und konstruiere die Mittelsenkrechte m. Wähle einen Punkt P auf m und miss |PA| und |PB|. Wie lang ist |AM|, wenn M der Schnittpunkt von m mit AB ist?
  3. Zeichne einen Winkel α = 70° und konstruiere die Winkelhalbierende. Wie groß ist jeder der beiden Teilwinkel? °
  4. Zeichne eine Gerade g und einen Punkt P, der 3 cm von g entfernt ist. Konstruiere das Lot von P auf g und die Parallele zu g durch P. Wie weit sind g und die Parallele voneinander entfernt? cm

Teil B: Dreiecke konstruieren

Aufgabe: Konstruiere das Dreieck, schreibe eine Konstruktionsbeschreibung und miss die gesuchten Größen.

  1. Dreieck mit a = 5 cm, b = 6 cm und c = 7 cm. Wie groß sind die drei Winkel?
  2. Dreieck mit b = 6 cm, c = 5 cm und α = 50° (α liegt zwischen b und c). Wie lang ist die Seite a?
  3. Dreieck mit c = 7 cm, α = 40° und β = 60°. Wie groß ist γ, und wie lang sind a und b?
  4. Dreieck mit c = 8 cm, a = 5 cm und α = 30° (a liegt gegenüber von α). Wie viele verschiedene Dreiecke gibt es? Wie groß ist γ jeweils?

Teil C: Umkreis, Inkreis, Ortslinien, besondere Linien

  1. Konstruiere zum Dreieck aus Aufgabe 5 (a = 5 cm, b = 6 cm, c = 7 cm) den Umkreis und den Inkreis. Wie groß sind die beiden Radien (auf 0,1 cm genau)?
  2. Der Punkt P soll von A und B (|AB| = 6 cm) gleich weit entfernt sein und von A genau 5 cm. Auf welcher Ortslinie liegt P? Wie weit ist P vom Mittelpunkt M der Strecke AB entfernt? Wie viele Lösungen gibt es?
  3. Beschreibe in Worten die Ortslinie aller Punkte, die a) von einem Punkt M genau 3 cm, b) von einer Geraden g genau 2 cm entfernt sind.
  4. Das Dreieck ABC hat die Ecken A(0 | 0), B(6 | 0) und C(3 | 6). Zeichne es, konstruiere die Seitenhalbierenden und lies den Schwerpunkt S ab. Wie hoch ist das Dreieck über AB (Höhe hc)?

Lösungen

  1. Erlaubt sind Zirkel und Lineal (ohne Skala). Die abgegriffene Strecke überträgt eine Länge, ohne sie zu messen.
  2. Alle Punkte der Mittelsenkrechten sind von A und B gleich weit entfernt: |PA| = |PB|. M ist der Mittelpunkt: |AM| = 6 : 2 = 3 cm.
  3. Jeder Teilwinkel misst 70° : 2 = 35°.
  4. Die Parallele hat von g überall denselben Abstand wie P: 3 cm.
  5. Mit drei Zirkelbögen um A, B und C ergibt sich α ≈ 44,4°, β ≈ 57,1° und γ ≈ 78,5°. Die Summe ist 180°.
  6. Aus dem Kosinussatz folgt a ≈ 4,7 cm (genauer 4,74 cm).
  7. γ = 180° − 40° − 60° = 80°. Es ist a ≈ 4,6 cm und b ≈ 6,2 cm.
  8. Der Zirkelbogen um B mit Radius 5 cm schneidet den freien Schenkel des Winkels α in zwei Punkten. Es gibt zwei Dreiecke, mit γ ≈ 53,1° und γ ≈ 126,9°. Der Winkel α liegt der kürzeren Seite a gegenüber (5 cm < 8 cm), deshalb ist die Konstruktion nicht eindeutig.
  9. Der Umkreismittelpunkt liegt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der Inkreismittelpunkt im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Es ergibt sich R ≈ 3,6 cm und r ≈ 1,6 cm.
  10. P liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. Nach Pythagoras ist |MP| = √(5² − 3²) = 4 cm. Es gibt zwei Lösungen, eine auf jeder Seite von AB.
  11. a) Ein Kreis um M mit Radius 3 cm. b) Zwei Parallelen zu g im Abstand 2 cm, je eine auf jeder Seite.
  12. Der Schwerpunkt ist S(3 | 2): Er teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 von der Ecke aus gerechnet. Die Höhe hc beträgt 6 cm.
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