Prisma

Ein Prisma ist ein Körper mit zwei gleich großen, parallelen Vielecken als Boden und Deckel, die durch Rechtecke oder Parallelogramme miteinander verbunden sind. Du kennst Prismen aus dem Alltag: ein Dachboden, ein Zelt, ein sechseckiger Bleistift oder eine Schachtel in Dreiecksform. Auch jeder Quader und jeder Würfel ist ein Prisma.

Man kann sich ein Prisma als Spur vorstellen: Du schiebst ein Vieleck geradeaus durch den Raum, und der Querschnitt bleibt immer gleich, wie bei Nudelteig, den du durch eine Form drückst. Hier lernst du Aufbau, Netz, Mantel, Oberfläche und Volumen. Du solltest Flächeninhalte von Rechteck und Dreieck kennen und den Quader schon gesehen haben.

Aufbau eines Prismas

Jedes Prisma besteht aus denselben Teilen. Die Grundfläche G ist ein Vieleck, zum Beispiel ein Dreieck, Viereck oder Sechseck. Gegenüber liegt die Deckfläche. Sie ist deckungsgleich (kongruent) zur Grundfläche, also gleich groß und gleich geformt, und liegt parallel zu ihr. Die übrigen Flächen heißen zusammen Mantel M. Die Kanten, die Grund- und Deckfläche verbinden, nennt man Seitenkanten. Sie sind parallel und gleich lang. Der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfläche ist die Höhe h des Prismas.

Das Bild zeigt ein dreiseitiges Prisma, das auf der Seite liegt. Welche der beiden Dreiecksflächen du Grundfläche nennst, ist egal. Den Namen gibt die Form der Grundfläche: Dreiecksprisma, Vierecksprisma, Sechsecksprisma und so weiter. Hat die Grundfläche n Ecken, nennt man das Prisma n-seitig.

Warum ist das so? Grund- und Deckfläche haben je n Ecken, zusammen 2n. Jede Ecke der Grundfläche ist mit der darüber liegenden Ecke durch eine Seitenkante verbunden. Kanten gibt es n unten, n oben und n an der Seite, zusammen 3n. Flächen sind es n im Mantel plus Grund- und Deckfläche. Rechnest du Ecken minus Kanten plus Flächen, kommt immer 2 heraus: $2n-3n+(n+2)=2$. Das ist der Eulersche Polyedersatz von Leonhard Euler.

Gerade, schiefe und regelmäßige Prismen

Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten senkrecht auf der Grundfläche. Der Mantel besteht dann aus Rechtecken, und die Höhe ist genauso lang wie eine Seitenkante. Bei einem schiefen Prisma sind die Seitenkanten geneigt. Der Mantel besteht aus Parallelogrammen, und die Höhe ist kürzer als die Seitenkante.

Ein regelmäßiges Prisma ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, also alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß hat. Der Würfel ist das bekannteste Beispiel. Ein sechseckiger Bleistift ist ebenfalls ein regelmäßiges Prisma.

Ein Quader ist ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche. Bei ihm kann jedes der drei Flächenpaare als Grund- und Deckfläche gelten. Ersetzt du das Vieleck durch einen Kreis, entsteht ein Zylinder.

Das Volumen

Das Volumen sagt, wie viel Platz ein Körper einnimmt. Beim Quader hast du gelernt: $V=a·b·c$ (Volumen von Würfel und Quader). Dabei ist $a·b$ der Flächeninhalt der rechteckigen Grundfläche und $c$ die Höhe. Das gilt für jedes Prisma: Stell dir vor, du stapelst Schichten übereinander. Jede Schicht hat die Grundfläche G und ist sehr dünn. Die Höhe h bestimmt, wie viele Schichten du brauchst.

Die Schwierigkeit liegt meist darin, die Grundfläche G auszurechnen. Diese Formeln brauchst du dafür:

Die Formel für das gleichseitige Dreieck folgt aus dem Satz des Pythagoras: Teilst du das Dreieck an seiner Höhe, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse a und einer Kathete $\frac{a}{2}$. Die Höhe ist also $\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}·a$. Das Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken, daher kommt der Faktor 6 und aus $6·\frac{\sqrt{3}}{4}$ wird $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Schiefes Prisma und das Prinzip von Cavalieri

Gilt $V=G·h$ auch für ein schiefes Prisma? Ja. Das zeigt ein Münzstapel. Du stapelst gleich viele gleiche Münzen übereinander. Schiebst du sie seitlich gegeneinander, steht der Stapel schief, aber die Münzen sind dieselben geblieben. Das Volumen ändert sich nicht, solange die Höhe gleich bleibt.

Netz und Mantel

Schneidest du ein Prisma an den Kanten auf und klappst es flach, entsteht ein Netz. Beim geraden Prisma bilden die Mantelflächen nebeneinander ein einziges großes Rechteck. Seine Breite ist der Umfang u der Grundfläche, das ist die Summe aller Seitenlängen. Seine Höhe ist die Höhe h des Prismas. Oben und unten hängen Deckfläche und Grundfläche an.

Beim schiefen Prisma gilt $M=u·h$ nicht, denn der Mantel besteht aus schiefen Parallelogrammen. Diesen Fall behandelt die Schule meist nicht.

Die Oberfläche

Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen. Beim Prisma sind das Grundfläche, Deckfläche und Mantel. Grund- und Deckfläche sind gleich groß, deshalb zählt die Grundfläche doppelt.

Zum Nachrechnen eignet sich der Volumenrechner, der auch das Prisma kennt.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben mit Lösungen findest du im Arbeitsblatt Volumen und Oberfläche üben.

Geschichte: von Euklid bis Cavalieri

Mit Raummaßen rechneten schon die Schreiber im alten Ägypten und Babylon, denn sie mussten Ziegelstapel und Speicher ausmessen. Eine frühe überlieferte Definition des Prismas steht bei den Griechen. Euklid beschreibt es im 11. Buch seiner Elemente (Definition 13) als Körper, der von Ebenen begrenzt wird, von denen zwei gegenüberliegende gleich, ähnlich und parallel sind, während die übrigen Parallelogramme sind.

Euklid vergleicht Prismen über ihre Grundflächen. Satz XI.39 sagt: Haben zwei Prismen dieselbe Höhe, und ist die Grundfläche des einen ein Parallelogramm, das doppelt so groß ist wie das Dreieck am Fuß des anderen, dann sind die Prismen gleich groß. Im 12. Buch (Satz XII.7) zeigt er, dass sich jedes Dreiecksprisma in drei gleich große Pyramiden zerlegen lässt. Den Gedanken, dass eine Pyramide ein Drittel eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe füllt, schrieb man bereits Demokrit zu. Den strengen Beweis lieferte nach Archimedes Eudoxos.

Eine kluge Abkürzung fand im 17. Jahrhundert Bonaventura Cavalieri. Er veröffentlichte 1635 seine Geometria indivisibilibus und betrachtete Körper als Stapel dünner Schichten. Daraus entstand das Prinzip, das du oben für das schiefe Prisma benutzt hast. Ähnliche Gedanken hatte schon Archimedes.

Häufige Fragen

Ist ein Quader ein Prisma?

Ja. Ein Quader ist ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundfläche. Ein Würfel ist ein Quader mit lauter gleichen Kanten und damit auch ein Prisma.

Welche Fläche ist die Grundfläche?

Bei einem Prisma sind Grund- und Deckfläche die beiden parallelen, deckungsgleichen Vielecke. Welche du Grundfläche nennst, darfst du bei einer Rechnung frei wählen. Beim Dachboden ist der Giebel die bequemste Grundfläche, obwohl das Prisma auf der Seite liegt.

Was ist der Unterschied zwischen Prisma und Pyramide?

Ein Prisma hat zwei gleiche Flächen und einen Mantel aus Rechtecken oder Parallelogrammen. Eine Pyramide hat nur eine Grundfläche und läuft oben in einer Spitze zusammen. Ihr Volumen ist ein Drittel von dem eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Prisma (Geometrie)
• David E. Joyce: Euclid’s Elements, Book XI (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Bonaventura Cavalieri (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Isaac Newton (englisch)