Geometría
La geometría estudia las figuras y los cuerpos y sus medidas. Aquí tienes un repaso de puntos, rectas, ángulos, polígonos, triángulos, cuadriláteros, círculo y cuerpos, con las fórmulas de áreas y enlaces para profundizar.
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La geometría es la rama de las matemáticas que estudia las formas, sus medidas (longitudes, ángulos, áreas y volúmenes) y sus propiedades. Parte de elementos muy simples, el punto, la recta y el plano, y construye con ellos las figuras planas (triángulos, cuadriláteros, círculos) y los cuerpos geométricos del espacio (cubos, cilindros, esferas).
Esta página es un mapa del tema: repasa los elementos básicos, los polígonos y la suma de sus ángulos, los triángulos y cuadriláteros, el círculo y los cuerpos geométricos, reúne en una tabla las fórmulas de áreas y enlaza con las páginas que desarrollan cada tema (ángulos, perímetro, área del círculo, volumen y teorema de Pitágoras). Termina con ejercicios resueltos. En alemán: Geometrie.
Puntos, rectas y planos
Un punto marca una posición y no tiene tamaño. Una recta es una línea sin principio ni fin; una semirrecta tiene principio y no tiene fin; un segmento tiene principio y fin, y se puede medir. Dos rectas en un plano pueden ser:
- Secantes: se cortan en un punto.
- Perpendiculares: se cortan formando ángulos rectos (90°).
- Paralelas: nunca se cortan y mantienen siempre la misma distancia.
El tamaño de las aberturas entre rectas se mide con los ángulos: agudo, recto, obtuso, llano, y complementarios y suplementarios.
Polígonos
Un polígono es una figura plana cerrada limitada por segmentos (sus lados). Se nombran por el número de lados. Un polígono es regular si todos sus lados y todos sus ángulos son iguales.
| Polígono | Lados | Suma de ángulos (n − 2) · 180° | Cada ángulo si es regular |
|---|---|---|---|
| Triángulo | 3 | 180° | 60° |
| Cuadrilátero | 4 | 360° | 90° |
| Pentágono | 5 | 540° | 108° |
| Hexágono | 6 | 720° | 120° |
| Octógono | 8 | 1080° | 135° |
El contorno de un polígono se mide con el perímetro: la suma de sus lados. Para el polígono regular, P = n · l.
Triángulos
Un triángulo es un polígono de tres lados. Se clasifica por sus lados y por sus ángulos.
| Según los lados | Cómo es | Según los ángulos | Cómo es |
|---|---|---|---|
| Equilátero | tres lados iguales | Acutángulo | tres ángulos agudos |
| Isósceles | dos lados iguales | Rectángulo | un ángulo recto |
| Escaleno | tres lados distintos | Obtusángulo | un ángulo obtuso |
Su área es la mitad de la base por la altura. En un triángulo rectángulo, los lados cumplen el teorema de Pitágoras: a² + b² = c².
Cuadriláteros
Un cuadrilátero tiene cuatro lados y sus ángulos suman 360°. Los paralelogramos tienen los lados opuestos paralelos: cuadrado, rectángulo, rombo y romboide. El trapecio tiene solo un par de lados paralelos, y los trapezoides no tienen ninguno.
| Figura | Rasgos |
|---|---|
| Cuadrado | cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos |
| Rectángulo | lados opuestos iguales y cuatro ángulos rectos |
| Rombo | cuatro lados iguales; las diagonales se cortan en ángulo recto |
| Romboide | lados opuestos iguales y paralelos, sin ángulos rectos |
| Trapecio | un par de lados paralelos (las bases) |
Fórmulas de áreas
El área mide la superficie de una figura plana, en cm², m²… Estas son las fórmulas de las figuras más habituales:
| Figura | Fórmula | Qué significan las letras |
|---|---|---|
| Cuadrado | A = a² | a es el lado |
| Rectángulo | A = b · h | base y altura |
| Romboide | A = b · h | base y altura (perpendicular a la base) |
| Triángulo | A = b · h / 2 | base y altura |
| Rombo | A = D · d / 2 | las dos diagonales |
| Trapecio | A = (B + b) · h / 2 | bases mayor y menor, y altura |
| Polígono regular | A = P · a / 2 | perímetro y apotema |
| Círculo | A = π · r² | r es el radio |
El círculo y la circunferencia
La circunferencia es la línea de los puntos que están a una misma distancia, el radio, del centro, y el círculo es la superficie que encierra. La longitud de la circunferencia es 2 · π · r y el área del círculo, π · r². Tienes el detalle en área del círculo (con sector y corona circular) y en el perímetro de la circunferencia.
Cuerpos geométricos
Los cuerpos geométricos ocupan espacio. Los poliedros están limitados por caras planas: el cubo, el ortoedro (caja), los prismas y las pirámides. Los cuerpos redondos tienen alguna superficie curva: el cilindro, el cono y la esfera.
| Cuerpo | Ejemplo cotidiano | Volumen |
|---|---|---|
| Cubo | un dado | a³ |
| Ortoedro | una caja de zapatos | l · b · h |
| Cilindro | una lata | π · r² · h |
| Cono | un cucurucho | π · r² · h / 3 |
| Pirámide | una pirámide de piedra | Ab · h / 3 |
| Esfera | una pelota | (4/3) · π · r³ |
Para calcular volúmenes y pasar de cm³ a litros, mira volumen.
Errores frecuentes
- Confundir perímetro y área. Cm y cm² no son lo mismo.
- Usar un lado inclinado como altura: la altura es perpendicular a la base.
- Olvidar el «dividido entre 2» en triángulos, rombos y trapecios.
- Pensar que todos los paralelogramos tienen ángulos rectos. Solo los rectángulos y los cuadrados.
- Confundir el radio con el diámetro en el círculo.
- Mezclar unidades (m con cm) en un mismo cálculo.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué estudia la geometría?
Las figuras planas y los cuerpos del espacio, sus propiedades y sus medidas: longitudes, ángulos, áreas y volúmenes.
¿Cuáles son las fórmulas de las áreas de las figuras planas?
Están en la tabla de áreas: cuadrado a², rectángulo b · h, triángulo b · h / 2, trapecio (B + b) · h / 2, círculo π · r² y más.
¿Cuánto suman los ángulos de un polígono?
(n − 2) · 180°, con n el número de lados. Un pentágono suma 540°.
¿Qué diferencia hay entre polígonos regulares e irregulares?
En un polígono regular todos los lados y todos los ángulos son iguales. En uno irregular, no.
¿Qué es un cuerpo geométrico?
Una figura que ocupa espacio en tres dimensiones, como un cubo o una esfera. Se clasifican en poliedros y cuerpos redondos.
¿Dónde aprendo el teorema de Pitágoras?
En la página teorema de Pitágoras, con fórmula, ejemplos y ejercicios.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: álgebra.
- Siguiente tema: probabilidad.
- Detalle de cada tema: ángulos, perímetro, área del círculo, volumen y teorema de Pitágoras.
- En alemán: Geometrie y la calculadora de superficies.
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