Probabilidad
La probabilidad mide cuán posible es que ocurra un suceso, con un número entre 0 y 1. Aprende los experimentos aleatorios, la regla de Laplace, la unión e intersección de sucesos, el diagrama de árbol y la probabilidad condicionada.
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La probabilidad de un suceso mide cuán posible es que ocurra, con un número entre 0 (imposible) y 1 (seguro). Cuando todos los resultados son igual de posibles se calcula con la regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles. Al lanzar un dado, la probabilidad de sacar un número par es 3/6 = 1/2, porque hay 3 resultados favorables (2, 4, 6) entre 6 posibles.
La página explica los experimentos aleatorios y el espacio muestral, la regla de Laplace, la probabilidad del suceso contrario, la unión e intersección de sucesos, la independencia, el diagrama de árbol y una introducción a la probabilidad condicionada, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Para el cálculo con árboles hay, en alemán, el calculador de diagramas de árbol. En alemán: Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Experimentos aleatorios, espacio muestral y sucesos
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado depende del azar: lanzar un dado, sacar una carta o extraer una bola de una bolsa. El conjunto de todos sus resultados posibles es el espacio muestral. Para un dado es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Un suceso es un subconjunto del espacio muestral: «sacar par» es {2, 4, 6}. Un suceso es seguro si ocurre siempre (probabilidad 1), imposible si no ocurre nunca (probabilidad 0) y elemental si tiene un solo resultado.
La regla de Laplace
Si todos los resultados del espacio muestral tienen la misma probabilidad (son equiprobables), la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles:
El suceso contrario
El suceso contrario de A (que no ocurra A) tiene probabilidad P(no A) = 1 − P(A). Si la probabilidad de lluvia es 0,35, la de que no llueva es 0,65.
Unión e intersección de sucesos
«A o B» (unión) ocurre si ocurre alguno de los dos; «A y B» (intersección) ocurre si ocurren los dos a la vez. La probabilidad de la unión es
Se resta la intersección porque, si no, los casos comunes se contarían dos veces.
Dos dados
Al lanzar dos dados hay 6 · 6 = 36 resultados equiprobables. Las sumas no son igual de probables, porque algunas se pueden obtener de más formas.
| Suma | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Casos | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Así, P(suma 7) = 6/36 = 1/6 y P(suma 12) = 1/36. La suma más probable es 7.
Sucesos independientes
Dos sucesos son independientes si el resultado de uno no influye en el otro. Entonces P(A y B) = P(A) · P(B). Al lanzar una moneda dos veces, la probabilidad de cara las dos veces es 1/2 · 1/2 = 1/4. Si sacas bolas de una bolsa y las devuelves cada vez (con reposición), las extracciones son independientes.
Diagrama de árbol
El diagrama de árbol ordena experimentos en etapas. Cada rama lleva su probabilidad; la probabilidad de un camino completo es el producto de sus ramas, y si varios caminos dan el mismo suceso se suman.
Probabilidad condicionada
La probabilidad condicionada P(B | A) es la probabilidad de B sabiendo que ya ha ocurrido A: P(B | A) = P(A y B) / P(A). En el ejemplo de las bolas sin reposición, la probabilidad de que la segunda sea roja sabiendo que la primera lo fue es P(RR) / P(R) = (3/10) / (3/5) = 1/2, que coincide con la rama 2/4 del árbol (quedan 2 rojas de 4 bolas).
Probabilidad y frecuencia relativa
Cuando no se puede aplicar Laplace, la probabilidad se estima con la frecuencia relativa: el número de veces que ocurre el suceso dividido entre el número de repeticiones. Cuantas más repeticiones, más se acerca la frecuencia relativa a la probabilidad. Si lanzas una chincheta 200 veces y cae con la punta hacia arriba 74 veces, estimas P ≈ 74/200 = 0,37.
Errores frecuentes
- Pensar que la moneda «compensa»: tras cinco caras seguidas, la probabilidad de cara en el sexto lanzamiento sigue siendo 1/2.
- Aplicar Laplace cuando los casos no son equiprobables, como contar «suma 7» y «suma 12» como igual de probables con dos dados.
- Sumar probabilidades de sucesos que se solapan sin restar la intersección.
- Multiplicar en lugar de sumar (o al revés): en un árbol, se multiplica a lo largo de una rama y se suma entre ramas.
- Olvidar que sin reposición cambian las probabilidades de la segunda etapa.
- Dar una probabilidad mayor que 1 o negativa. Siempre está entre 0 y 1.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es la probabilidad?
Un número entre 0 y 1 que mide cuán posible es que ocurra un suceso. 0 es imposible y 1 es seguro.
¿Qué dice la regla de Laplace?
Que si todos los resultados son igual de probables, la probabilidad de un suceso es los casos favorables dividido entre los casos posibles.
¿Qué es un experimento aleatorio?
Uno cuyo resultado no se puede predecir con certeza, aunque se conocen todos los resultados posibles, como lanzar un dado.
¿Cómo se usa un diagrama de árbol?
Se dibuja una rama por cada resultado de cada etapa con su probabilidad; se multiplican las ramas de un camino y se suman los caminos que dan el mismo suceso. Mira el ejemplo.
¿Qué es la probabilidad condicionada?
La probabilidad de un suceso sabiendo que otro ya ha ocurrido: P(B | A) = P(A y B) / P(A).
¿Cuál es la diferencia entre con reposición y sin reposición?
Con reposición se devuelve lo extraído y las probabilidades no cambian. Sin reposición, la composición cambia y también las probabilidades de la segunda extracción.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: geometría.
- Siguiente tema: estadística.
- Las probabilidades se escriben como fracciones, decimales o porcentajes.
- En alemán: Wahrscheinlichkeitsrechnung y calculador de diagramas de árbol.
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