Álgebra

El álgebra es la parte de las matemáticas que utiliza letras para representar números desconocidos o cualquiera, de modo que se pueden escribir reglas generales y resolver problemas. Una expresión algebraica combina números y letras con operaciones, como 3x² − 2x + 5. Con ellas se plantean ecuaciones, se describen fórmulas (A = b · h / 2) y se estudian funciones.

Esta página es una guía del álgebra de secundaria: expresiones algebraicas y valor numérico, términos semejantes, operaciones con monomios y polinomios, productos notables, factorización y despeje de fórmulas. Cada apartado trae ejemplos resueltos, y al final hay ejercicios con soluciones. Las ecuaciones tienen su propia página, ecuaciones, y las rectas, función lineal. En alemán: Algebra.

Expresiones algebraicas y lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico traduce frases a expresiones: «el doble de un número más 3» es 2x + 3, «el siguiente de un número» es x + 1 y «la suma de tres números consecutivos» es x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3. Un monomio es un término como 4x³, con un coeficiente (4), una parte literal (x) y un grado (3). Un polinomio es una suma de monomios.

Valor numérico

El valor numérico de una expresión es el resultado de sustituir las letras por números.

Términos semejantes

Dos términos son semejantes si tienen la misma parte literal (las mismas letras con los mismos exponentes). Se pueden sumar o restar sumando o restando los coeficientes: 5x + 3x = 8x. En cambio, 5x + 3x² no se puede simplificar, porque x y x² son distintos.

Operaciones con monomios

Para multiplicar monomios multiplicas los coeficientes y sumas los exponentes de las mismas letras. Para dividir, divides los coeficientes y restas los exponentes. Las propiedades vienen de las potencias.

Operaciones con polinomios

Para sumar polinomios sumas los términos semejantes. Para restar, cambias el signo de todos los términos del segundo y los sumas. Para multiplicar, multiplicas cada término de uno por cada término del otro (propiedad distributiva) y reduces.

Productos notables

Algunos productos aparecen tanto que conviene saberlos de memoria:

Factorizar

Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de factores, lo contrario de multiplicar. Hay tres métodos básicos.

• Factor común: 6x² + 9x = 3x · (2x + 3).
• Diferencia de cuadrados: x² − 49 = (x − 7)(x + 7).
• Trinomio cuadrado perfecto: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Y, en general, x² + (p + q)x + p · q = (x + p)(x + q).

Despejar una letra en una fórmula

Despejar es aislar una letra aplicando las mismas reglas que en las ecuaciones. De A = b · h / 2 sale h = 2A / b. De v = e / t sale t = e / v y e = v · t.

A dónde ir después del álgebra

Con estas herramientas puedes resolver ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones y estudiar la función lineal. Los productos notables y la factorización se usarán después para las ecuaciones de segundo grado y las funciones cuadráticas.

Errores frecuentes

• Sumar términos no semejantes: 3x + 2y no es 5xy, y 3x + 2x² no es 5x³.
• Escribir (a + b)² = a² + b². Falta el término 2ab.
• Perder el signo al restar polinomios: hay que cambiar el signo de todos los términos del segundo.
• Multiplicar solo el primer término de un paréntesis: 2(x + 3) = 2x + 6, no 2x + 3.
• Sumar los exponentes al sumar monomios: x² + x² = 2x², no x⁴.
• No comprobar la factorización: multiplicando de nuevo debes recuperar el polinomio.

Ejercicios con soluciones

Preguntas frecuentes

Sigue aprendiendo

• Tema anterior: función lineal.
• Siguiente tema: geometría.
• Relacionado: ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
• En alemán: Algebra.