Finanzmathematik

Finanzmathematik ist die Mathematik des Geldes über die Zeit. Du vergleichst Zahlungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten fließen, und rechnest dafür mit Zinsen. So beantwortest du Fragen wie: Was ist ein Sparplan in 30 Jahren wert? Wie hoch ist die Rate für einen Kredit? Welches von zwei Kreditangeboten ist wirklich billiger?

Die Seite baut auf dem Zinseszins und der Zinsrechnung auf. Neu ist, dass nicht nur ein Betrag verzinst wird, sondern eine ganze Folge von Zahlungen. Das Werkzeug dafür ist die Summe einer geometrischen Reihe, siehe Summen- und Produktzeichen. Du brauchst außerdem Potenzen und für die Laufzeit Logarithmen. Wie weit der Stoff in Deutschland, Österreich und der Schweiz verlangt wird, steht im Abschnitt Regionale Hinweise.

Wiederholung: Zinseszins, Aufzinsen und Abzinsen

Ein Betrag K₀ wächst bei dem Zinssatz i pro Periode auf K₀ · q mit dem Zinsfaktor q = 1 + i. Nach n Perioden sind es K_n = K₀ · qⁿ. Die Herleitung, eine Tabelle und Übungen stehen im Abschnitt Zinseszinsformel. In allen Formeln dieser Seite gehört der Zinssatz als Dezimalzahl hinein: 3 % sind i = 0,03 und q = 1,03.

Unterjährige Verzinsung

Banken schreiben Zinsen oft nicht nur einmal im Jahr gut, sondern halbjährlich, vierteljährlich oder monatlich. Der genannte Jahreszins ist dann der Nominalzins p. Bei m Gutschriften pro Jahr gilt für jede Periode der relative Zinssatz p : m. Weil die Zinsen mitverzinst werden, wächst das Geld in einem Jahr um den Faktor (1 + p : m)^m. Das ist mehr als 1 + p.

Die Werte wachsen nur langsam. Selbst bei unendlich häufiger Gutschrift, der stetigen Verzinsung (siehe Jakob Bernoulli und die Zahl e), kommen nur 6,18 % heraus.

Relativer und konformer Zinssatz

Oft ist die Frage umgekehrt: Du kennst den Jahreszins i und brauchst den Zins für einen Monat. Dafür gibt es zwei Wege. Der relative Monatszins ist i : 12. Er wird bei Krediten meist benutzt, es ist der Nominalzins geteilt durch 12. Der konforme (auch äquivalente) Monatszins ist die Zahl, die nach zwölfmaligem Aufzinsen genau den Jahreszins i ergibt:

Bei 6 % Jahreszins ist der konforme Monatszins 1,06^1/12 − 1 ≈ 0,4868 %, der relative dagegen 0,5 %. Welche Regel gilt, steht im Vertrag. Auf dieser Seite nehmen wir den relativen Monatszins, wenn nichts anderes dasteht.

Rentenrechnung: regelmäßige Zahlungen

Eine Rente ist in der Finanzmathematik eine Folge gleich hoher Zahlungen r in gleichen Abständen. Das kann eine Sparrate sein, eine Kreditrate oder eine Pension. Die Zahlungen können am Ende jeder Periode fließen (nachschüssig) oder am Anfang (vorschüssig). Dazwischen liegt genau eine Periode Verzinsung. Die Formeln gelten, wenn die Rentenperiode so lang ist wie die Zinsperiode. Zahlst du monatlich, rechnest du mit dem Monatszins und mit n als Zahl der Monate.

Der Endwert einer Rente

Zahlst du n Jahre lang am Ende jedes Jahres den Betrag r ein, wird die erste Rate n − 1 Jahre verzinst und die letzte gar nicht. Der Endwert ist die Summe aller aufgezinsten Raten:

Die Klammer ist eine geometrische Summe. Du kannst sie schnell umformen: Nenne die Summe S. Dann ist q · S = qⁿ + qⁿ⁻¹ + … + q. Zieht man davon S ab, bleibt qⁿ − 1 übrig, also (q − 1) · S = qⁿ − 1.

Umgekehrt kannst du die Rate bestimmen, die zu einem Sparziel führt, indem du die Formel nach r umstellst:

Für 20.000 € in 8 Jahren bei 2,5 % brauchst du r = 20.000 · 0,025 : (1,025⁸ − 1) = 500 : 0,218403 ≈ 2.289,35 € pro Jahr (nachschüssig).

Der Barwert einer Rente

Der Barwert einer Rente ist die Summe aller abgezinsten Raten. Er sagt dir, wie viel Geld du heute einmalig anlegen müsstest, um damit die ganze Rente zu bezahlen. Du bekommst ihn, indem du den Endwert durch qⁿ teilst.

Die ewige Rente

Wird die Rente nie beendet, wächst qⁿ über alle Grenzen, und der Bruch im Barwert nähert sich 1 : (q − 1). Das ergibt die Formel der ewigen Rente. Anschaulich ist sie leicht zu verstehen: Das Kapital B bringt jedes Jahr B · i Zinsen. Genau diese Zinsen werden ausgezahlt, das Kapital selbst bleibt unberührt.

Der Barwert steigt mit der Laufzeit, bleibt aber immer unter 1.200 : 0,04 = 30.000 €. Die Zahlungen in ferner Zukunft zählen heute kaum noch. Die Formel braucht man zum Beispiel für Stiftungen: Wer dauerhaft 24.000 € pro Jahr ausschütten will, braucht bei 3 % ein Kapital von 24.000 : 0,03 = 800.000 €, bei 2 % schon 1.200.000 €. Der Zinssatz hat also eine große Wirkung.

Sparpläne und Entnahmepläne

Eine Altersvorsorge hat zwei Phasen. In der Ansparphase zahlst du regelmäßig ein, das Guthaben am Ende ist der Endwert der Rente. In der Entnahmephase zahlst du dir das Guthaben in gleichen Raten wieder aus, während der Rest weiter verzinst wird. Das Guthaben ist dann der Barwert der Entnahmen. Die Formel für die Entnahme r_E ist deshalb dieselbe wie bei der Annuität im Abschnitt Tilgung, nur dass jetzt du die Bank bist:

Wie lange reicht ein Kapital K, wenn du jedes Jahr r entnimmst? Aus der Barwertformel folgt qⁿ = r : (r − K · i), und mit dem Logarithmus ergibt sich die Laufzeit:

Ist r nicht größer als die Zinsen K · i, hat die Formel keine Lösung: Dann reicht das Kapital für immer, denn es ist die ewige Rente. Mit dem Zinsrechner kannst du Sparpläne mit monatlicher Rate nachrechnen. Er benutzt den relativen Monatszins. Ein Beispiel: 100 € pro Monat am Monatsende, 10 Jahre, 3 % Nominalzins ergeben 100 · (1,0025¹²⁰ − 1) : 0,0025 ≈ 13.974,14 € (eingezahlt 12.000 €). Bei Einzahlung am Monatsanfang sind es 13.974,14 · 1,0025 ≈ 14.009,08 €. Mit dem konformen Monatszins (3 % effektiv pro Jahr, 0,2466 % pro Monat) wären es 13.944,80 €.

Tilgung: Annuität und Ratentilgung

Wer ein Darlehen aufnimmt, zahlt es in Raten zurück. Jede Rate besteht aus zwei Teilen: den Zinsen auf die noch offene Schuld und der Tilgung, die die Schuld verringert. Was nach einer Rate noch offen ist, heißt Restschuld. Banken bieten vor allem zwei Modelle an.

Annuitätentilgung: gleichbleibende Rate

Bei der Annuitätentilgung ist die Rate A, die Annuität, in jedem Jahr gleich. Damit die Schuld nach n Jahren genau null ist, muss der Barwert aller Raten dem Darlehen entsprechen: K₀ = A · (qⁿ − 1) : (qⁿ · (q − 1)). Umgestellt ergibt das:

Warum wächst die Tilgung um den Faktor q? Die Rate A bleibt gleich. Sinken die Zinsen von Z_k auf Z_k+1, muss die Tilgung um genau diese Differenz steigen. Die Zinsen sinken um i mal die Tilgung, also ist T_k+1 − T_k = i · T_k. Am Anfang zahlst du fast nur Zinsen, am Ende fast nur Tilgung.

Die Werte sind ohne Zwischenrundung gerechnet, daher können Zeilensummen um einen Cent abweichen. Die Tilgungen steigen jeweils um den Faktor 1,05: 2.320,12 · 1,05 ≈ 2.436,12. Die Zinsen in der Tabelle ergeben zusammen 1.280,47 €.

Ratentilgung: gleichbleibende Tilgung

Bei der Ratentilgung (auch Abzahlungsdarlehen) tilgst du in jedem Jahr denselben Betrag T = K₀ : n. Die Zinsen werden auf die jeweilige Restschuld berechnet und sinken deshalb gleichmäßig. Damit sinkt auch die Rate.

Die Zinsen ergeben zusammen 10.000 · 0,05 · 5 : 2 = 1.250 €. Das stimmt mit der Tabelle überein: 500 + 375 + 250 + 125 = 1.250.

Annuität und Ratentilgung im Vergleich

Die Annuität ist gut planbar, weil die Rate immer gleich bleibt. Dafür sinkt die Restschuld langsamer, und du zahlst insgesamt etwas mehr Zinsen. Die Ratentilgung ist bei gleichem Zinssatz billiger, belastet aber am Anfang stärker. Das Diagramm zeigt den Unterschied für ein Darlehen über 100.000 € mit 4 % und 20 Jahren Laufzeit.

Bei der Annuität ist die Rate A = 7.358,18 € pro Jahr, die Zinsen betragen insgesamt 47.163,50 €. Bei der Ratentilgung sind es 100.000 · 0,04 · 21 : 2 = 42.000 €. Dafür ist die erste Rate mit 5.000 + 4.000 = 9.000 € deutlich höher, die letzte mit 5.200 € niedriger als die Annuität.

Restschuld

Die Restschuld K_k nach der k-ten Rate zeigt, wie viel du noch schuldest. Du brauchst sie bei einer Sondertilgung, bei einer Umschuldung und am Ende der Zinsbindung. Das ist der Zeitraum, für den der Zinssatz im Vertrag festgeschrieben ist. Es gibt zwei gleichwertige Wege zur Restschuld eines Annuitätendarlehens.

Effektivzins und Kreditvergleich

Zwei Kredite mit demselben Zinssatz können verschieden teuer sein: wegen einer Bearbeitungsgebühr, eines Abschlags bei der Auszahlung oder weil die Zinsen monatlich statt jährlich berechnet werden. Der effektive Jahreszins fasst alles in einer Zahl zusammen. Er ist der Zinssatz, bei dem der Barwert aller Rückzahlungen genau dem ausgezahlten Betrag entspricht. Für Verbraucherkredite ist das in der EU einheitlich geregelt: Die Barwerte aller Auszahlungen und aller Rückzahlungen müssen gleich sein, Zeiten werden in Jahren und Jahresbruchteilen gerechnet. So steht es bisher in Artikel 19 und Anhang I der Richtlinie 2008/48/EG. Ab dem 20. November 2026 gelten die Vorschriften zur Nachfolgerichtlinie (EU) 2023/2225, die dasselbe Prinzip mit einer Formel in ihrem Anhang III festlegt. Den einfachsten Fall mit nur einer Zahlung am Ende des Jahres rechnest du auf der Seite Zinsrechnung.

Die Barwertgleichung des Effektivzinses

Bei einem Ratenkredit mit N Monatsraten r_k und dem Auszahlungsbetrag K_aus suchst du den Monatszins j, für den gilt:

Sind alle Raten gleich hoch, ist die Summe ein Rentenbarwert, und die Gleichung lautet K_aus = r · (1 − (1 + j)^−N) : j. Daraus bekommst du den effektiven Jahreszins mit (1 + i_eff) = (1 + j)¹².

Nach j lässt sich die Gleichung nicht mit einer Formel auflösen. Du näherst dich der Lösung durch Probieren, mit der Intervallhalbierung oder mit dem Newton-Verfahren. Eine Tabellenkalkulation nimmt dir die Arbeit ab (siehe die Häufigen Fragen unten).

Kreditvergleich: zwei Angebote für 10.000 €

Zwei Banken bieten einen Kredit über 10.000 € mit 36 Monatsraten an. Angebot A kostet 6,0 % Sollzins und keine Gebühr. Angebot B wirbt mit nur 5,4 % Sollzins, berechnet aber 2 % Bearbeitungsgebühr, die von der Auszahlung abgezogen wird.

Die Raten sind r = 10.000 · j : (1 − (1 + j)⁻³⁶) mit j = 0,5 % beziehungsweise 0,45 %. Bei Angebot A ist der Monatszins genau der Sollzins : 12, der effektive Jahreszins also 1,005¹² − 1 ≈ 6,17 %. Bei B musst du den Monatszins j suchen, für den der Barwert der 36 Raten zu 301,51 € die Auszahlung von 9.800 € ergibt:

Ist der Barwert größer als die Auszahlung, war der Monatszins zu klein, ist er kleiner, war er zu groß. Es ergibt sich j ≈ 0,5631 % pro Monat und damit der effektive Jahreszins 1,005631¹² − 1 ≈ 6,97 %. Angebot B klingt mit 5,4 % günstiger, ist aber teurer: Die Gebühr hebt den Effektivzins über den von Angebot A. Auch in Euro kostet B mehr. Vergleichbar sind nur Angebote mit gleichem Betrag und gleicher Laufzeit.

Inflation und Realzins

Bei Inflation steigen die Preise im Durchschnitt um die Inflationsrate π pro Jahr. Dein Geld verliert dann an Kaufkraft. Die Europäische Zentralbank strebt mittelfristig eine Inflationsrate von 2 % an. Was heute 10.000 € kostet, kostet bei 2 % in 20 Jahren 10.000 · 1,02²⁰ ≈ 14.859,47 €. Umgekehrt kaufst du mit 10.000 € in 20 Jahren nur noch Waren im heutigen Wert von 10.000 : 1,02²⁰ ≈ 6.729,71 €.

Deshalb unterscheidet man den Nominalzins i, der auf dem Konto steht, vom Realzins. Er sagt, wie viel Kaufkraft dein Geld pro Jahr gewinnt oder verliert.

Ausblick: Kapitalwert und Investitionsrechnung

Eine Firma kauft eine Maschine, wenn sie sich lohnt. Dafür zinst sie alle künftigen Rückflüsse F_t auf den Kaufzeitpunkt ab und zieht die Anschaffungskosten I ab. Das Ergebnis ist der Kapitalwert C₀. Der Zinssatz i heißt dabei Kalkulationszins und gibt die Rendite einer Alternative an.

Ist C₀ positiv, lohnt sich die Investition gegenüber der Alternative. Bei negativem C₀ ist es besser, das Geld zum Kalkulationszins anzulegen. Der interne Zinssatz ist der Zinssatz, bei dem C₀ genau null wird. Er wird wie der Effektivzins durch Probieren bestimmt.

Der Kapitalwert ist C₀ = −50.000 + 58.973,09 = 8.973,09 €. Er ist positiv, die Maschine lohnt sich. Weil die Rückflüsse gleich hoch sind, ist die Summe auch ein Rentenbarwert: 14.000 · (1 − 1,06⁻⁵) : 0,06 = 14.000 · 4,2123638 ≈ 58.973,09 €. Für den internen Zinssatz probierst du: Bei 12 % ist C₀ noch 466,87 €, bei 13 % schon −758,76 €. Er liegt bei etwa 12,4 %. Die Investitionsrechnung hat weitere Verfahren, zum Beispiel für ungleiche Laufzeiten oder Steuern. Das gehört zur Betriebswirtschaft.

Typische Fehler

Finanzmathematik in Deutschland, Österreich und der Schweiz

Wie viel von diesem Stoff du brauchst, hängt vom Land und von der Schule ab. Die folgenden Angaben stammen aus den amtlichen Dokumenten, die unten bei den Quellen stehen. Frag im Zweifel deine Lehrkraft, welcher Lehrplan bei dir gilt.

• Österreich: Die Rentenrechnung gehört zur standardisierten Reife- und Diplomprüfung (SRDP) Angewandte Mathematik an den berufsbildenden höheren Schulen (BHS), also zum Beispiel an HAK und HTL. Die amtliche Formelsammlung dafür (Stand 1. Dezember 2022) enthält ein Kapitel „Finanzmathematik“ mit Zinseszins, unterjähriger Verzinsung, effektivem Jahreszinssatz, Rentenrechnung (nachschüssig und vorschüssig, Endwert und Barwert) und Tilgungsplan. Ein weiteres Kapitel „Investitionsrechnung“ behandelt Kapitalwert und internen Zinssatz. Dort heißen die Größen E (Endwert), B (Barwert), R (Ratenhöhe) und q (Aufzinsungsfaktor).
• Schweiz: Der Rahmenlehrplan für die Berufsmaturität (Fassung vom 13. Juni 2025) nennt im Fach Mathematik für die Ausrichtung Wirtschaft und Dienstleistungen das Lerngebiet „Elemente der Wirtschaftsmathematik“ mit 30 Lektionen. Dazu gehören die Zinseszinsrechnung mit dem äquivalenten Zinssatz, die Annuität im wirtschaftlichen Kontext und weitere Aufgaben zur Kapitalisierung und Annuität. In der kaufmännischen Grundbildung (Kauffrau/Kaufmann EFZ) behandelt der Nationale Lehrplan der Berufsfachschule im Lernfeld „Persönliche Finanzen“ die private Verschuldung und die langfristige finanzielle Bindung durch Leasingverträge. Um das mit Zahlen zu beurteilen, brauchst du Zinsfaktor, Rate, Restschuld und Effektivzins von dieser Seite.
• Deutschland: Eine bundeseinheitliche Vorgabe gibt es nicht. Die KMK-Bildungsstandards für die Allgemeine Hochschulreife (Beschluss vom 18. Oktober 2012) nennen Finanzmathematik nicht als eigenes Gebiet. Ob und wie weit Rentenrechnung vorkommt, regeln die Länder. In Rheinland-Pfalz ist „Finanzmathematik“ an der Fachoberschule, Fachrichtung Wirtschaft und Verwaltung, eines der Wahlpflichtthemen im Fach Mathematik (Lehrplan von 2010, 30 Stunden) mit Zinseszinsrechnung, Rentenrechnung, Annuitätentilgung, Kapitalaufbau und Kapitalabbau. In Sachsen steht „Finanzmathematik“ als Wahlbereich in Klassenstufe 11 der Fachoberschule, mit der Zinseszinsformel und dem Vergleich von Anlagemöglichkeiten. Am Wirtschaftsgymnasium in Baden-Württemberg kommen Zinseszins und, in der Altersvorsorge, die Inflation im Bildungsplan „Privates Vermögensmanagement“ vor. Im Bildungsplan Mathematik der Oberstufe (grundlegendes Anforderungsniveau) wird die Kapitalentwicklung nur als Beispiel für exponentielles Wachstum genannt.

Übungen

Immer neue Aufgaben mit Lösungen gibt es auf dem Blatt Rente, Tilgung und Barwert. Dort kannst du auch gezielt vorschüssige Renten, ewige Renten, Ratentilgung, Zeilen des Tilgungsplans, den Effektivzins eines Ratenkredits und den Realzins üben. Den Zinseszins übst du auf dem Blatt Zinsrechnung.

Geschichte: Leibrenten, de Witt und Halley

Das Rechnen mit Renten ist älter als die Formeln. Schon im Römischen Reich mussten Juristen den Wert lebenslanger Renten schätzen, zum Beispiel wenn jemand sie in einem Testament vermacht bekam. Eine Tafel, die dem Juristen Ulpian zugeschrieben wird (um 220 n. Chr.), rechnete das Alter des Berechtigten in eine Zahl von Jahren um: 30 Jahre bei unter 20-Jährigen, nur noch 5 ab 60. Wie sie entstand und wie sie zu deuten ist, ist unter Fachleuten umstritten. Im Mittelalter war der Rentenkauf verbreitet: Wer einmal Geld gab, bekam dafür eine regelmäßige Zahlung, bei einer Leibrente bis zum Lebensende. Er blieb vom kirchlichen Zinsverbot meist ausgenommen (siehe Geschichte der Zinsen) und wurde auch von Städten und Fürsten genutzt, um an Geld zu kommen.

Wie viel sollte eine Leibrente kosten? Der Preis hängt davon ab, wie lange der Käufer voraussichtlich lebt, und das ist eine Frage der Wahrscheinlichkeit. 1671 legte Johan de Witt (Jan de Witt), der Ratspensionär von Holland, den Ständen von Holland die Schrift Waerdye van Lyf-Renten naer Proportie van Los-Renten („Der Wert von Leibrenten im Verhältnis zu ablösbaren Renten“) vor. Zuvor kosteten Leibrenten etwa 12 Jahresraten, im Oktober 1671 setzten die Stände den Preis auf 14 Jahresraten fest (7,14 %). De Witt rechnete vor, dass eine Rente, die jährlich 1 Gulden zahlt, 16 Gulden kosten müsste (6,25 %). Er stützte sich auf die Methoden von Christiaan Huygens aus dessen Abhandlung über das Glücksspiel (1657) und auf einfache Annahmen zur Sterblichkeit. Die Stände zögerten, den Preis noch weiter zu erhöhen. Am 20. August 1672 wurde de Witt in Den Haag von einer aufgebrachten Menge getötet. Mehr zu dieser Zeit steht im Artikel Mathematik des 17. Jahrhunderts.

Gut 20 Jahre später verbesserte der englische Astronom Edmond Halley die Rechnung. Er wertete die Geburten- und Sterberegister der Stadt Breslau aus, die der Pfarrer Caspar Neumann gesammelt hatte, und schätzte daraus, dass Breslau etwa 34.000 Einwohner hatte. Aus den Zahlen entstand eine Sterbetafel. In der Schrift „An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind“ in den Philosophical Transactions von 1693 zeigte er, wie man den Preis einer Leibrente für ein bestimmtes Alter berechnet: Für jedes künftige Jahr ermittelt man die Wahrscheinlichkeit, dass der Käufer noch lebt, zinst die Zahlung ab (Halley rechnete mit 6 %) und addiert alles. Junge Leben sind dabei mehr wert als alte. Das ist bis heute das Prinzip der Versicherungsmathematik: ein Barwert, gewichtet mit Überlebenswahrscheinlichkeiten, siehe auch Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Wie schon Fibonacci 1202 Zahlungen zu verschiedenen Zeitpunkten über Barwerte verglich, erzählt der Abschnitt Fibonacci und das Handelsbuch. Wie Jakob Bernoulli beim Verzinsen auf die Zahl e stieß, steht im Abschnitt Jakob Bernoulli und die Zahl e.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen nachschüssig und vorschüssig?

Nachschüssig bedeutet Zahlung am Ende jeder Periode, vorschüssig am Anfang. Bei vorschüssiger Zahlung arbeitet jede Rate eine Periode länger. Endwert und Barwert sind deshalb um den Faktor q größer als bei nachschüssiger Zahlung.

Warum ist der Effektivzins höher als der Nominalzins?

Der Effektivzins berücksichtigt, wie oft Zinsen berechnet werden, und bei Krediten auch Gebühren, die die Auszahlung verringern. Beides erhöht die tatsächlichen Kosten pro geliehenem Euro und Jahr.

Annuität oder Ratentilgung: Was ist besser?

Bei gleichem Zinssatz zahlt man mit der Ratentilgung etwas weniger Zinsen, weil die Restschuld schneller sinkt. Die Annuität hat eine gleichbleibende Rate und ist dadurch besser planbar. Welches Modell passt, hängt davon ab, wie hoch die Belastung am Anfang sein darf.

Wie lange dauert die Rückzahlung bei 1 % Anfangstilgung?

Mit n = ln((i + t) : t) : ln(1 + i) für den Zinssatz i und die Anfangstilgung t. Bei 3,5 % Zinsen und 1 % Anfangstilgung sind das rund 43,7 Jahre, bei 2 % Anfangstilgung rund 29,4 Jahre. Eine höhere Tilgung verkürzt die Laufzeit stark.

Wie rechne ich das mit Excel oder LibreOffice?

Beide Programme haben Finanzfunktionen: ZW für den Endwert, BW für den Barwert, RMZ für die Rate, ZZR für die Laufzeit, ZINS für den Zinssatz je Periode, EFFEKTIV für den effektiven Jahreszins aus dem Nominalzins und IKV für den internen Zinssatz. Gezahlte Beträge gibst du dort negativ ein, erhaltene positiv. Prüfe das Ergebnis mit einer Überschlagsrechnung wie auf dieser Seite.

Quellen und weiterführende Literatur

• Jürgen Tietze: Einführung in die Finanzmathematik. Klassische Verfahren und neuere Entwicklungen: Effektivzins- und Renditeberechnung, Investitionsrechnung, Derivative Finanzinstrumente, Springer Spektrum, Wiesbaden (mehrere Auflagen).
• Bundesministerium für Bildung (BMBWF): Formelsammlung Mathematik (AHS), Angewandte Mathematik (BHS), Berufsreifeprüfung Mathematik, Stand 1. Dezember 2022, Kapitel 21 „Finanzmathematik“ und 22 „Investitionsrechnung“, abgerufen am 22.10.2026.
• Staatssekretariat für Bildung, Forschung und Innovation (SBFI): Rahmenlehrplan für die Berufsmaturität, Bern, 13. Juni 2025, Fach Mathematik, Gruppe 3 (Kopie auf zg.ch), abgerufen am 22.10.2026.
• SKKAB: Nationaler Lehrplan Berufsfachschule Kauffrau/Kaufmann EFZ, 1. Lehrjahr, Lernfeld 2b „Persönliche Finanzen“ (Kopie auf kvz-schule.ch), abgerufen am 22.10.2026.
• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife, Beschluss vom 18.10.2012, abgerufen am 22.10.2026.
• Pädagogisches Landesinstitut Rheinland-Pfalz: Lehrplan für die Fachoberschule, Fachrichtung Wirtschaft und Verwaltung, 20.12.2010, Mathematik, Lernbaustein 4 (Kopie auf rochus-realschule.de), abgerufen am 22.10.2026.
• Sächsisches Staatsministerium für Kultus: Lehrplan Fachoberschule Mathematik, Wahlbereich „Finanzmathematik“, überarbeitet 2020, abgerufen am 22.10.2026.
• Baden-Württemberg: Bildungsplan Privates Vermögensmanagement (Wirtschaftsgymnasium) und Bildungsplan Mathematik der Oberstufe, grundlegendes Anforderungsniveau, abgerufen am 22.10.2026.
• Richtlinie 2008/48/EG über Verbraucherkreditverträge, Artikel 19 (Berechnung des effektiven Jahreszinses) und Anhang I, abgerufen am 22.10.2026. Nachfolgerin ab 20. November 2026: Richtlinie (EU) 2023/2225 über Verbraucherkreditverträge, Anhang III.
• Edmond Halley: An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, drawn from curious Tables of the Births and Funerals at the City of Breslaw; with an Attempt to ascertain the Price of Annuities upon Lives, Philosophical Transactions 17 (1693), S. 596–610.
• MacTutor History of Mathematics: Johan de Witt, the first calculation on the valuation of life annuities (Projekt von Daxenberger, englisch), abgerufen am 22.10.2026.
• Wikipedia: Finanzmathematik