Rentenrechnung: Endwert, Barwert, ewige Rente

Eine Rente ist in der Finanzmathematik eine Folge gleich hoher Zahlungen r in gleichen Abständen. Das kann eine Sparrate sein, eine Kreditrate oder eine Pension. Die Zahlungen können am Ende jeder Periode fließen (nachschüssig) oder am Anfang (vorschüssig). Dazwischen liegt genau eine Periode Verzinsung. Die Formeln gelten, wenn die Rentenperiode so lang ist wie die Zinsperiode. Zahlst du monatlich, rechnest du mit dem Monatszins und mit n als Zahl der Monate.

Der Endwert einer Rente

Zahlst du n Jahre lang am Ende jedes Jahres den Betrag r ein, wird die erste Rate n − 1 Jahre verzinst und die letzte gar nicht. Der Endwert ist die Summe aller aufgezinsten Raten:

Die Klammer ist eine geometrische Summe. Du kannst sie schnell umformen: Nenne die Summe S. Dann ist q · S = qⁿ + qⁿ⁻¹ + … + q. Zieht man davon S ab, bleibt qⁿ − 1 übrig, also (q − 1) · S = qⁿ − 1.

Umgekehrt kannst du die Rate bestimmen, die zu einem Sparziel führt, indem du die Formel nach r umstellst:

Für 20.000 € in 8 Jahren bei 2,5 % brauchst du r = 20.000 · 0,025 : (1,025⁸ − 1) = 500 : 0,218403 ≈ 2.289,35 € pro Jahr (nachschüssig).

Der Barwert einer Rente

Der Barwert einer Rente ist die Summe aller abgezinsten Raten. Er sagt dir, wie viel Geld du heute einmalig anlegen müsstest, um damit die ganze Rente zu bezahlen. Du bekommst ihn, indem du den Endwert durch qⁿ teilst.

Die ewige Rente

Wird die Rente nie beendet, wächst qⁿ über alle Grenzen, und der Bruch im Barwert nähert sich 1 : (q − 1). Das ergibt die Formel der ewigen Rente. Anschaulich ist sie leicht zu verstehen: Das Kapital B bringt jedes Jahr B · i Zinsen. Genau diese Zinsen werden ausgezahlt, das Kapital selbst bleibt unberührt.

Der Barwert steigt mit der Laufzeit, bleibt aber immer unter 1.200 : 0,04 = 30.000 €. Die Zahlungen in ferner Zukunft zählen heute kaum noch. Die Formel braucht man zum Beispiel für Stiftungen: Wer dauerhaft 24.000 € pro Jahr ausschütten will, braucht bei 3 % ein Kapital von 24.000 : 0,03 = 800.000 €, bei 2 % schon 1.200.000 €. Der Zinssatz hat also eine große Wirkung.