Estadística
La estadística recoge, ordena y resume datos. Aquí aprendes las tablas de frecuencias, a calcular la media, la mediana, la moda, el rango y la desviación típica, y a interpretar los gráficos, con ejemplos y ejercicios.
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La estadística es la parte de las matemáticas que recoge, organiza y analiza datos para describirlos y sacar conclusiones. Los datos se resumen con unos pocos números, los más usados son la media (el promedio), la mediana (el valor central) y la moda (el valor más frecuente), y con medidas de dispersión como el rango y la desviación típica, que dicen cuánto se separan los datos entre sí.
La página explica los conceptos básicos (población, muestra, variables), las tablas de frecuencias, el cálculo de la media, la mediana, la moda, el rango y la desviación típica en un ejemplo completo, los gráficos estadísticos, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Para comprobar cálculos hay, en alemán, el calculador de estadística. En alemán: Statistik.
Conceptos básicos
La población es el conjunto total que se estudia (todos los alumnos de un colegio) y la muestra es la parte de ella que se observa realmente. Las variables son las características que se miden. Pueden ser cualitativas (no son números: el color de ojos, el deporte favorito) o cuantitativas (son números: la nota, la estatura). Las cuantitativas son discretas si toman valores sueltos (número de hermanos) o continuas si pueden tomar cualquier valor de un intervalo (la estatura).
Tabla de frecuencias
Para organizar los datos se cuenta cuántas veces aparece cada valor. Esa cantidad es la frecuencia absoluta (f). La frecuencia relativa es f dividida entre el total de datos N, y multiplicada por 100 es el porcentaje. La frecuencia acumulada (F) suma las frecuencias hasta ese valor.
Ejemplo con las notas de 20 alumnos en un examen: 5, 6, 7, 7, 8, 5, 9, 6, 7, 10, 4, 7, 6, 8, 5, 7, 9, 6, 8, 7.
| Nota | f | Frecuencia relativa | % | F (acumulada) |
|---|---|---|---|---|
| 4 | 1 | 0,05 | 5 % | 1 |
| 5 | 3 | 0,15 | 15 % | 4 |
| 6 | 4 | 0,20 | 20 % | 8 |
| 7 | 6 | 0,30 | 30 % | 14 |
| 8 | 3 | 0,15 | 15 % | 17 |
| 9 | 2 | 0,10 | 10 % | 19 |
| 10 | 1 | 0,05 | 5 % | 20 |
| Total | 20 | 1,00 | 100 % |
La media
La media aritmética es la suma de todos los datos dividida entre el número de datos. Con una tabla de frecuencias, multiplicas cada valor por su frecuencia.
La mediana
La mediana es el valor que queda en el centro cuando los datos están ordenados de menor a mayor. Si hay una cantidad impar de datos, es el del medio; si hay una cantidad par, es la media de los dos centrales.
La moda
La moda es el dato con mayor frecuencia. Puede haber más de una (distribución bimodal) o ninguna si todos aparecen igual. En las 20 notas, la moda es 7 (6 veces). En 2, 3, 3, 5, 5, 5, 6 la moda es 5. La moda es la única medida que sirve también con datos cualitativos: el color de coche más vendido.
Rango y desviación típica
El rango es la diferencia entre el dato mayor y el menor: en las notas, 10 − 4 = 6. Es fácil de calcular, pero solo usa dos datos.
La desviación típica (σ) mide, de forma más completa, cuánto se separan los datos de la media. Se calcula así:
- Calcula la media.
- Resta la media a cada dato y eleva al cuadrado cada diferencia.
- Haz la media de esos cuadrados (es la varianza).
- Saca la raíz cuadrada de la varianza.
¿Media o mediana?
Los valores extremos influyen mucho en la media y poco en la mediana. Los sueldos mensuales de una pequeña empresa son 1200, 1250, 1300, 1350 y 9000 euros (el último es el del director). La media es (1200 + 1250 + 1300 + 1350 + 9000) : 5 = 14 100 : 5 = 2820 €, mayor que cuatro de los cinco sueldos, y la mediana es 1300 €, mucho más representativa de un sueldo típico.
Gráficos estadísticos
Los gráficos ayudan a ver los datos de un vistazo. Los más usados son:
- Diagrama de barras: una barra por valor, de altura igual a la frecuencia. Sirve para variables cualitativas o discretas.
- Histograma: barras unidas para datos continuos agrupados en intervalos.
- Diagrama de sectores: un círculo dividido en sectores proporcionales a las frecuencias; el ángulo de cada sector es 360° por la frecuencia relativa. La nota 7 (30 %) ocupa 0,30 · 360° = 108°.
- Polígono de frecuencias: una línea que une los puntos medios de las barras.
Errores frecuentes
- Calcular la mediana sin ordenar los datos.
- Calcular la media de una tabla dividiendo entre el número de filas en lugar de entre el total de datos N.
- Confundir la frecuencia absoluta con la relativa.
- Pensar que la media es siempre un dato de la lista: la media de 1 y 2 es 1,5.
- Ignorar los valores extremos al interpretar la media.
- Dibujar un diagrama de barras con una escala que no empieza en 0, que exagera las diferencias.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es la estadística?
La ciencia que recoge, organiza y analiza datos para describir una situación y sacar conclusiones.
¿Cómo se calcula la media?
Sumando todos los datos y dividiendo entre el número de datos. La media de 3, 5, 8 y 4 es 5.
¿Cómo se calcula la mediana?
Ordenas los datos y tomas el central; si hay un número par de datos, la media de los dos centrales. Mira los ejemplos.
¿Qué es la moda?
El dato que más se repite.
¿Qué es la desviación típica?
Una medida de cuánto se separan los datos de su media. Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza, que es la media de los cuadrados de las diferencias con la media.
¿Qué es la frecuencia absoluta y la relativa?
La absoluta es cuántas veces aparece un dato; la relativa es esa cantidad dividida entre el total de datos. Mira la tabla de frecuencias.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: probabilidad.
- Siguiente tema: ecuaciones de segundo grado.
- Las frecuencias relativas se expresan como porcentajes y fracciones.
- La raíz cuadrada que aparece en la desviación típica se explica en raíz cuadrada.
- En alemán: Statistik y el calculador de estadística.
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