Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0. Aprende a resolverla con la fórmula general, a interpretar el discriminante, a tratar las incompletas, a factorizar y a plantear problemas.
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Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) es una ecuación que, tras simplificarla, se puede escribir como ax² + bx + c = 0, con a distinto de 0. Para resolverla se usa la fórmula general: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Con x² − 5x + 6 = 0 resulta x = (5 ± 1) / 2, es decir, x = 3 o x = 2.
La página explica la fórmula general y el discriminante, que dice cuántas soluciones reales hay, las ecuaciones incompletas, la resolución por factorización, las relaciones entre las soluciones y los coeficientes y cómo plantear problemas con ecuaciones de segundo grado, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Conviene dominar antes las ecuaciones de primer grado. En alemán: quadratische Gleichungen y el calculador de ecuaciones cuadráticas.
La forma general
Los números a, b y c son los coeficientes: a acompaña a x², b a x y c es el término independiente. Antes de resolver hay que pasar todo a un lado hasta tener 0 en el otro. Por ejemplo, x² + 3x = 10 se escribe x² + 3x − 10 = 0, con a = 1, b = 3 y c = −10.
La fórmula general
El signo ± indica dos cálculos: uno con + y otro con −. Los pasos son: identifica a, b y c; calcula el discriminante; sustituye en la fórmula.
El discriminante
El valor Δ = b² − 4ac, que aparece dentro de la raíz, decide cuántas soluciones reales tiene la ecuación.
| Discriminante | Soluciones reales | Ejemplo |
|---|---|---|
| Δ > 0 | dos distintas | x² − 5x + 6 = 0 (Δ = 1) |
| Δ = 0 | una doble | x² − 6x + 9 = 0 (Δ = 0): x = 3 |
| Δ < 0 | ninguna | x² + 2x + 5 = 0 (Δ = −16) |
Una solución doble significa que la parábola de la función cuadrática asociada toca el eje horizontal en un solo punto; sin soluciones reales, no lo corta.
Ecuaciones incompletas
Cuando b = 0 o c = 0, no hace falta la fórmula.
- ax² + c = 0 (b = 0): despejas x² = −c/a y sacas la raíz, con dos signos. 3x² − 12 = 0 → x² = 4 → x = 2 o x = −2. Si −c/a es negativo, no hay solución real.
- ax² + bx = 0 (c = 0): sacas factor común x: x · (ax + b) = 0. Una solución es siempre x = 0 y la otra es x = −b/a. 2x² − 8x = 0 → 2x · (x − 4) = 0 → x = 0 o x = 4.
Resolver por factorización
Si el trinomio se puede factorizar, se iguala cada factor a 0. Se buscan dos números que sumen b y multipliquen c (con a = 1).
También se puede completar el cuadrado: x² + 6x + 5 = 0 → (x + 3)² = 4 → x + 3 = ±2 → x = −1 o x = −5. Para repasar factorización, mira álgebra.
Relación entre soluciones y coeficientes
Para x² + bx + c = 0 (a = 1) las soluciones x₁ y x₂ cumplen x₁ + x₂ = −b y x₁ · x₂ = c. En general, x₁ + x₂ = −b/a y x₁ · x₂ = c/a. En x² − 5x + 6 = 0 las soluciones suman 5 y multiplican 6 (3 + 2 y 3 · 2). Esto sirve para comprobar y para construir la ecuación: con soluciones 2 y −3 la suma es −1 y el producto −6, así que la ecuación es x² + x − 6 = 0.
Problemas con ecuaciones de segundo grado
Errores frecuentes
- Usar mal el signo de b: en la fórmula aparece −b; con b = −5 es +5.
- Dividir solo parte del numerador entre 2a. Todo el numerador va sobre 2a.
- No escribir la ecuación igualada a 0 antes de identificar a, b y c.
- Perder la solución x = 0 en ax² + bx = 0 al dividir entre x.
- Quitar el ± o la solución negativa en x² = 4: x = ±2.
- Dar una solución sin sentido en un problema (longitudes negativas).
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es una ecuación de segundo grado?
Una ecuación que se puede escribir como ax² + bx + c = 0 con a distinto de 0. La incógnita aparece elevada al cuadrado como máximo.
¿Cuál es la fórmula general?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Mira los ejemplos.
¿Qué es el discriminante?
El valor b² − 4ac. Si es positivo, hay dos soluciones reales; si es cero, una; si es negativo, ninguna real.
¿Cómo se resuelven las ecuaciones incompletas?
Si falta b, despejas x² y sacas la raíz con dos signos; si falta c, sacas factor común x. Están en esta sección.
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado por factorización?
Buscas dos números que sumen b y multipliquen c, escribes los dos factores y los igualas a 0.
¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de segundo grado?
Dos, una (doble) o ninguna real, según el discriminante.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: estadística.
- Siguiente tema: función cuadrática.
- Repaso: ecuaciones de primer grado y álgebra.
- En alemán: quadratische Gleichungen y calculador.
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