Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número es el número positivo que multiplicado por sí mismo lo da: √49 = 7. Aprende los cuadrados perfectos, a calcular raíces aproximadas, la raíz cúbica, las propiedades y a simplificar radicales.
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La raíz cuadrada de un número positivo a, que se escribe √a, es el número positivo que, multiplicado por sí mismo, da a. Por ejemplo, √49 = 7 porque 7 · 7 = 49. Es la operación inversa de elevar al cuadrado. El símbolo √ se llama radical, el número de dentro es el radicando y el resultado es la raíz.
Esta página reúne los cuadrados perfectos del 1 al 20 y una tabla de raíces cuadradas del 1 al 20, explica cómo calcular una raíz aproximada, qué es la raíz cúbica, las propiedades de los radicales y cómo simplificarlos, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Para comprobar un cálculo hay, en alemán, la calculadora de raíces. En alemán: Wurzeln.
Qué es la raíz cuadrada
Si un cuadrado tiene un área de 81 cm², su lado mide √81 = 9 cm. Cada número positivo tiene dos números cuyo cuadrado es él (9 y −9 para 81), pero la raíz cuadrada se define como el positivo: √81 = 9. Por eso la ecuación x² = 81 tiene dos soluciones, 9 y −9, aunque √81 sea solo 9. Y √0 = 0.
Cuadrados perfectos del 1 al 20
Un cuadrado perfecto es un número natural que es el cuadrado de otro natural. Conocer los primeros te permite calcular raíces de memoria.
| n | n² | n | n² | n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 36 | 11 | 121 | 16 | 256 |
| 2 | 4 | 7 | 49 | 12 | 144 | 17 | 289 |
| 3 | 9 | 8 | 64 | 13 | 169 | 18 | 324 |
| 4 | 16 | 9 | 81 | 14 | 196 | 19 | 361 |
| 5 | 25 | 10 | 100 | 15 | 225 | 20 | 400 |
Así, √144 = 12 y √361 = 19. Un cuadrado perfecto nunca termina en 2, 3, 7 ni 8, y los pares terminan en 0, 4 o 6.
| Número | Raíz | Número | Raíz |
|---|---|---|---|
| √1 | 1 | √11 | ≈ 3,317 |
| √2 | ≈ 1,414 | √12 | ≈ 3,464 |
| √3 | ≈ 1,732 | √13 | ≈ 3,606 |
| √4 | 2 | √14 | ≈ 3,742 |
| √5 | ≈ 2,236 | √15 | ≈ 3,873 |
| √6 | ≈ 2,449 | √16 | 4 |
| √7 | ≈ 2,646 | √17 | ≈ 4,123 |
| √8 | ≈ 2,828 | √18 | ≈ 4,243 |
| √9 | 3 | √19 | ≈ 4,359 |
| √10 | ≈ 3,162 | √20 | ≈ 4,472 |
Cálculo aproximado de una raíz cuadrada
Si el radicando no es cuadrado perfecto, la raíz tiene infinitos decimales y se aproxima. Un método sencillo es acotar y refinar.
- Busca los dos cuadrados perfectos entre los que está el número.
- Prueba con decimales y ajusta, comparando los cuadrados.
Otro método, que mejora el resultado rápido, es repetir x → (x + a / x) : 2, empezando por una estimación x. Para a = 20 y x = 4,5: (4,5 + 20 : 4,5) : 2 = (4,5 + 4,4444) : 2 = 4,4722, que ya coincide con √20 = 4,4721… en las cuatro primeras cifras.
Raíz cúbica
La raíz cúbica de a, que se escribe ∛a, es el número que elevado al cubo da a. ∛27 = 3 porque 33 = 27. A diferencia de la raíz cuadrada, la raíz cúbica sí existe para números negativos: ∛(−8) = −2, porque (−2)3 = −8.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n³ | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 |
Así, ∛125 = 5 y ∛1000 = 10. El mismo esquema da raíces cuartas, quintas… (índice 4, 5…), pero en secundaria se usan sobre todo las cuadradas y cúbicas.
Propiedades de las raíces
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto | √(a · b) = √a · √b | √(16 · 25) = 4 · 5 = 20 |
| Cociente | √(a / b) = √a / √b | √(81 / 9) = 9 / 3 = 3 |
| Cuadrado | (√a)² = a | (√7)² = 7 |
| Raíz de un cuadrado | √(a²) = |a| | √((−5)²) = 5 |
También se pueden hallar raíces de decimales: √0,25 = 0,5, √1,44 = 1,2 y √0,0081 = 0,09. Cuenta que la raíz tiene la mitad de decimales que el radicando.
Simplificar radicales
Para simplificar √a, descompón a en un producto donde un factor sea un cuadrado perfecto y saca su raíz fuera.
Errores frecuentes
- Dividir el número entre 2: √16 no es 8, sino 4.
- Separar sumas: √(a + b) no es √a + √b.
- Olvidar que √(x²) = |x|: √((−3)²) = 3, no −3.
- Escribir √(−4) = −2: no hay raíz cuadrada real de un número negativo.
- Quedarse en un radical sin simplificar cuando hay un cuadrado perfecto dentro: √50 = 5√2.
- Mezclar √ con ∛: ∛27 = 3, pero √27 = 3√3 ≈ 5,196.
Ejercicios con soluciones
Preguntas frecuentes
¿Qué es la raíz cuadrada?
Es el número positivo que multiplicado por sí mismo da el número del que se calcula. √49 = 7 porque 7 · 7 = 49.
¿Cuáles son los cuadrados perfectos?
Los cuadrados de los números naturales: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100… Están en la tabla del 1 al 20.
¿Cómo se calcula una raíz cuadrada que no es exacta?
Se acota entre dos cuadrados perfectos y se prueban decimales, o se usa la calculadora. Mira el ejemplo de √20.
¿Qué es la raíz cúbica?
El número que elevado al cubo da el radicando: ∛27 = 3. También existe para negativos.
¿Se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo?
No dentro de los números reales, porque ningún real elevado al cuadrado da un número negativo.
¿Cómo se simplifica un radical?
Sacando de la raíz los factores que son cuadrados perfectos: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Mira la sección de simplificar radicales.
Sigue aprendiendo
- Tema anterior: potencias.
- Siguiente tema: porcentajes.
- Las raíces cuadradas se usan en el teorema de Pitágoras.
- En alemán: Wurzeln y la calculadora de raíces.
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