Baumdiagramm-Rechner: Pfadregeln mit und ohne Zurücklegen

So benutzt du den Baumdiagramm-Rechner

Wähle zuerst das Zufallsexperiment. Bei einer Urne gibst du die Sorten mit ihrer Anzahl ein, etwa rot 3, blau 2, und legst fest, ob die gezogene Kugel zurückgelegt wird. Für andere Experimente wie Münzwurf, Glücksrad oder Treffer und Niete schreibst du die Wahrscheinlichkeiten einer Stufe in eine Zeile, zum Beispiel Treffer 0,3; Niete 0,7. Dann legst du fest, wie viele Stufen es gibt und welches Ereignis dich interessiert, etwa „genau 1-mal rot“ oder „mindestens 2-mal Treffer“.

Die beiden Pfadregeln

Ein Baumdiagramm zeigt jede Stufe eines Zufallsexperiments als Verzweigung. An den Ästen stehen die Wahrscheinlichkeiten. Jeder Weg von der Wurzel bis zu einem Blatt heißt Pfad und steht für ein Ergebnis des ganzen Experiments.

Mit oder ohne Zurücklegen?

Wird die Kugel zurückgelegt, sieht die Urne bei jeder Ziehung gleich aus, und die Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich. Ohne Zurücklegen fehlt danach eine Kugel, und auf der zweiten Stufe ändern sich die Brüche. Im Beispiel oben ergibt sich mit Zurücklegen 2 · 3/5 · 2/5 = 12/25 = 48 % statt 60 %.

Verteilung und Erwartungswert

Unter dem Baum steht, mit welcher Wahrscheinlichkeit das gewählte Ergebnis 0-mal, 1-mal, 2-mal usw. vorkommt. Das ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl. Daraus folgt der Erwartungswert, also wie oft das Ergebnis im Mittel vorkommt. Bei unabhängigen Stufen mit gleicher Trefferwahrscheinlichkeit ist das eine Binomialverteilung, die der Binomialverteilung-Rechner auch für viele Stufen berechnet.

Aus der Geschichte: ein unterbrochenes Spiel

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung begann 1654 mit Briefen zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat. Sie überlegten, wie man den Einsatz gerecht aufteilt, wenn ein Glücksspiel vorzeitig abgebrochen wird. Fermat schrieb dafür alle möglichen Fortsetzungen des Spiels auf und zählte, wie viele davon jeder Spieler gewonnen hätte. Das ist genau die Idee eines Baumdiagramms. Mehr dazu im Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Häufige Fragen