Eudoxos von Knidos

Eudoxos von Knidos (um 400 bis um 347 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker, Astronom und Geograph. Er gilt als einer der bedeutendsten Mathematiker der klassischen Zeit. Er entwickelte eine Proportionenlehre, die auch mit irrationalen Größen funktioniert, und die Exhaustionsmethode, mit der man Flächen und Volumen streng bestimmt. Beides steht heute in Euklids Elementen (Buch V und XII). In der Astronomie schuf er das erste mathematische Modell der Planetenbewegungen.

Seine Werke sind verloren, wir kennen sie aus Euklid, Archimedes und Aristoteles. Auch seine Lebensdaten sind unsicher: Die antike Zeitrechnung (geboren etwa 407 v. Chr.) passt nicht, weil Eudoxos in einem Werk den Tod Platons (348/347 v. Chr.) erwähnt. Die neuere Forschung rechnet mit einer Geburt zwischen 397 und 390 und einem Tod zwischen 345 und 338 v. Chr. Die Angaben „um 400 bis um 347“ sind deshalb Näherungswerte.

Leben: Von Knidos nach Athen und zurück

Eudoxos stammte aus bescheidenen Verhältnissen. Knidos war berühmt für seine Ärzteschule. Mathematik soll er bei Archytas von Tarent gelernt haben, was Fachleute allerdings bezweifeln. Mit etwa 23 Jahren besuchte er Athen, wo er Platon begegnet sein dürfte. Um 365/364 v. Chr. reiste er für 16 Monate nach Ägypten, um bei Priestern die Astronomie kennenzulernen. Danach lehrte er in Kyzikos am Marmarameer und ging später mit Schülern nach Athen. Sicher ist ein enger Kontakt zu Platons Akademie, ob er dort Mitglied war, ist offen. Zuletzt kehrte er nach Knidos zurück, gab seiner Stadt Gesetze und baute ein Observatorium. Zu seinen Schülern zählten die Mathematiker Menaichmos und Deinostratos.

Proportionenlehre: Verhältnisse vergleichen

Seit der Entdeckung inkommensurabler Strecken (Hippasos) stellte sich eine Frage: Wie vergleicht man zwei Verhältnisse, wenn sie keine Verhältnisse ganzer Zahlen sind? Eudoxos lieferte die Antwort, die in Euklids fünftem Buch steht. Zwei Verhältnisse a : b und c : d sind gleich, wenn sie sich zu allen ganzzahligen Vervielfachungen gleich verhalten: Für beliebige ganze Zahlen m und n gilt, dass aus m · a > n · b stets m · c > n · d folgt, aus „gleich“ stets „gleich“ und aus „kleiner“ stets „kleiner“. In Worten: Man lässt beide Verhältnisse gegen alle Bruchzahlen antreten. Liegt das eine über, unter oder genau auf einem Bruch, muss das andere genauso liegen.

Voraussetzung ist, dass zu zwei Größen A < B immer ein Vielfaches n · A existiert, das B übertrifft. Diese Eigenschaft heißt heute archimedisches Axiom, doch Archimedes schreibt sie früheren Geometern zu, und die Forschung vermutet, dass sie von Eudoxos stammt. Mathematikhistoriker sehen in der Definition einen Vorläufer der Schnitte, mit denen Dedekind 1872 die reellen Zahlen begründete. Einfachere Verhältnisrechnungen bietet der Lernbereich Verhältnisse und Proportionalität.

Die Exhaustionsmethode: Flächen ausschöpfen

Wie berechnet man die Fläche eines Kreises, wenn man nur Strecken und Vielecke messen kann? Die Idee: Man legt Vielecke in den Kreis und verdoppelt die Eckenzahl immer weiter. Jede Verdopplung schöpft mehr von dem aus, was vom Kreis noch fehlt (lateinisch exhaurire, „ausschöpfen“).

Entscheidend ist ein Satz, den Euklid im zehnten Buch beweist: Nimmt man von einer Größe mehr als die Hälfte weg, vom Rest wieder mehr als die Hälfte und so fort, wird der Rest irgendwann kleiner als jede vorgegebene Größe. Genau das passiert bei den Vielecken:

Jede Zeile lässt weniger als die Hälfte des vorigen Rests übrig. Der Beweis selbst kommt ohne unendliche Summen aus. Er zeigt stattdessen: Wäre die gesuchte Fläche größer als der behauptete Wert, ergäbe sich ein Widerspruch; wäre sie kleiner, ebenso. Also stimmt der Wert. Damit umging Eudoxos die Fallen, in die Zenon mit dem Unendlichen gelockt hatte.

Auf diese Weise sind in Euklids zwölftem Buch bewiesen, dass sich Kreisflächen wie die Quadrate der Durchmesser verhalten (XII, 2), dass ein Kegel ein Drittel eines Zylinders und eine Pyramide ein Drittel eines Prismas fasst (XII, 10 und 7) und dass sich Kugelvolumen wie die Kuben der Durchmesser verhalten (XII, 18). Nach Archimedes lieferte Eudoxos den ersten Beweis für das Drittel bei Kegel und Pyramide, das Demokrit zuvor nur behauptet hatte. Die Beweise des Eudoxos selbst sind nicht überliefert, Euklids Fassung gilt aber als sein Erbe.

Astronomie: Ein Himmel aus Kugelschalen

Platon soll die Aufgabe gestellt haben, die scheinbar unregelmäßigen Bahnen der Planeten auf gleichmäßige Kreisbewegungen zurückzuführen. Eudoxos löste sie so: Die Erde ruht im Zentrum, und jedes Gestirn gehört zu einer Gruppe ineinander liegender Kugelschalen mit gemeinsamem Mittelpunkt, daher „homozentrisch“. Diese Schalen drehen sich gleichmäßig um gegeneinander geneigte Achsen. Sonne und Mond erhalten je drei Sphären, die fünf damals bekannten Planeten je vier, die Fixsterne eine: zusammen 27.

Die zwei inneren Sphären eines Planeten drehen sich gegenläufig und erzeugen zusammen eine Achterschleife, die Eudoxos Hippopede („Pferdefessel“) nannte. Damit erklärte er, warum Planeten am Himmel zeitweise stillstehen und rückwärts laufen. Schwach blieb das Modell bei den Helligkeitsschwankungen der Planeten, die auf wechselnde Entfernungen deuten. Der Astronom Kallippos von Kyzikos ergänzte später sieben Sphären, und Aristoteles baute das Ganze zu einem physikalischen Modell mit über fünfzig Sphären aus. Für Eudoxos selbst war es dagegen ein reines Rechenmodell.

Als Geograph beschrieb Eudoxos die Erde und teilte sie in Klimazonen ein. Die geographische Breite eines Ortes bestimmte er aus dem Verhältnis des längsten zum kürzesten Tag; für den eigenen Beobachtungsort kam er auf 5 : 3.

Zeitleiste: Eudoxos und sein Erbe

1. um 400 v. Chr. Geburt in Knidos (nach neuerer Forschung zwischen 397 und 390 v. Chr.).
2. um 365/364 v. Chr. Reise nach Ägypten, 16 Monate Studium der Astronomie.
3. um 360 bis 350 v. Chr. Lehrtätigkeit in Kyzikos und Athen, Kontakt zur Akademie.
4. um 347 v. Chr. Tod in Knidos (vielleicht erst um 340 v. Chr.).
5. um 330 v. Chr. Aristoteles beschreibt in der Metaphysik das System der Sphären.
6. um 300 v. Chr. Euklid nimmt Proportionenlehre (Buch V) und Exhaustion (Buch XII) in die Elemente auf.
7. 3. Jh. v. Chr. Archimedes würdigt Eudoxos als ersten Beweiser von Kegel und Pyramide.
8. 2. Jh. v. Chr. Hipparchos kommentiert die Phainomena des Eudoxos und des Aratos.
9. 1872 Dedekind begründet die reellen Zahlen mit Schnitten, einer Idee mit Vorläufern in Eudoxos’ Proportionenlehre.

Bedeutung heute: Reelle Zahlen und Grenzwerte

Eudoxos gab der griechischen Mathematik ein tragfähiges Fundament. Seine Definition der Proportion machte das Rechnen mit Streckenverhältnissen von der Frage unabhängig, ob sie rational sind. Die Exhaustionsmethode ist der Vorläufer der Integralrechnung: Archimedes führte sie zur Meisterschaft, und noch heute begründet man Grenzwerte, indem man zeigt, dass der Unterschied beliebig klein wird. In der Analysis findet sich dieser Gedanke im Grenzwertbegriff wieder. Auch das Verfahren, ein kompliziertes Naturphänomen durch ein Modell aus einfachen, mathematisch beschreibbaren Bausteinen nachzubilden, gehört bis heute zum Alltag der Wissenschaft. Einen Überblick über die Epoche bietet der Artikel griechische Mathematik.

Quellen und weiterführende Literatur

• François Lasserre: Die Fragmente des Eudoxos von Knidos, De Gruyter, Berlin 1966.
• Hans-Joachim Waschkies: Von Eudoxos zu Aristoteles. Das Fortwirken der eudoxischen Proportionentheorie in der aristotelischen Philosophie, Grüner, Amsterdam 1977.
• Thomas L. Heath: A History of Greek Mathematics, Band 1, Clarendon Press, Oxford 1921.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Eudoxus of Cnidus (englisch)