Demokrit

Demokrit (um 460 bis um 370 v. Chr.) stammte aus Abdera in Thrakien und war einer der vielseitigsten Denker der Antike. Bekannt ist er als Begründer der Atomlehre: Alles bestehe aus unteilbaren, ewigen Teilchen, die sich im leeren Raum bewegen. Mathematisch bedeutsam ist er, weil er nach Archimedes als Erster aussprach, dass ein Kegel genau ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe hat und eine Pyramide ein Drittel eines Prismas. Bewiesen hat er das nach dem gleichen Bericht nicht.

Seine zahlreichen Schriften, darunter mehrere mathematische, sind verloren. Geblieben sind Fragmente und Berichte späterer Autoren. Wegen seiner heiteren Grundhaltung nannte man ihn den „lachenden Philosophen“.

Leben: Der lachende Philosoph aus Abdera

Abdera war eine griechische Stadt an der Nordküste der Ägäis. Demokrit stammte aus reichem Haus und gab sein Vermögen für Reisen aus. Überliefert sind Reisen nach Ägypten und Persien, wahrscheinlich war er auch in Babylon. Ein ihm zugeschriebenes Fragment prahlt, kein Zeitgenosse habe mehr Länder gesehen; die Echtheit ist umstritten. Als sein Lehrer gilt Leukipp, über dessen Leben wir noch weniger wissen.

Diogenes Laertios überliefert ein Verzeichnis von rund 70 Schriften, die von Ethik über Medizin und Biologie bis zur Mathematik reichten. Aristoteles schätzte ihn als Naturforscher. Demokrit lehrte, wahres Glück sei innere Ruhe, die man durch Einsicht in das Wesen der Dinge gewinne. Ob er deshalb oft lachte, ist offen; die Künstler der Neuzeit stellten ihn gern lachend dar, im Gegensatz zum weinenden Heraklit.

Atome und Leere

Das Wort atomos bedeutet „unteilbar“. Nach Demokrit gibt es unendlich viele Atome, die sich nur in Gestalt, Lage und Anordnung unterscheiden und im leeren Raum bewegen. Farbe, Süße oder Wärme gelten „nach Übereinkunft“; in Wahrheit gebe es nur Atome und Leeres (Fragmente B 9 und B 125). Damit gab die Atomlehre eine Antwort auf Zenon und seine Vorgänger: Mit dem Leeren wird Bewegung möglich, mit den vielen Atomen die Vielheit.

Dass Teilen irgendwann endet, war eine philosophische Idee, kein Ergebnis von Experimenten. Die Atome der heutigen Physik, die aus Kern und Elektronen bestehen, sind teilbar. Mit Demokrits Gedanken haben sie nur den Namen gemeinsam.

Der Kegel und sein Volumen: ein Drittel

Ein Kegel mit Grundkreis-Radius r und Höhe h hat das Volumen ⅓ · π · r² · h. Das ist genau ein Drittel des Zylinders mit demselben Grundkreis und derselben Höhe. Archimedes schreibt im Vorwort seiner Methode, Demokrit habe diese Aussage über Kegel und Pyramide als Erster gemacht, ohne sie zu beweisen. Den ersten Beweis habe Eudoxos geliefert.

Plutarch berichtet nach dem Stoiker Chrysippos von einer Frage Demokrits: Schneidet man einen Kegel parallel zur Grundfläche durch, sind die beiden Schnittflächen gleich oder ungleich? Sind sie ungleich, hat der Kegel Stufen wie eine Treppe. Sind sie gleich, wäre er ein Zylinder. Beides erscheint absurd. Deutlich wird: Demokrit dachte sich Körper als Stapel unendlich dünner Scheiben, ein Gedanke, den später Archimedes und Cavalieri fruchtbar machten.

So kann man heute rechnen (ob Demokrit es so tat, ist unbekannt). Bei n Scheiben hat die k-te von oben den Radius k/n · r. Der Scheibenstapel füllt vom Zylinder den folgenden Anteil:

Mathematische Schriften

Nach dem Verzeichnis bei Diogenes Laertios schrieb Demokrit unter anderem über Zahlen, über Geometrie, über die Berührung von Kreis und Kugel und über „irrationale Linien und Körper“. Keine dieser Schriften ist erhalten. Ein ihm zugeschriebenes Fragment rühmt, im Zeichnen von Figuren mit Beweis habe ihn niemand übertroffen, nicht einmal die ägyptischen Seilspanner. Ob der Satz echt ist, bleibt umstritten. Wie weit sich Demokrits Atomlehre mit seiner Geometrie vertrug, ist ebenfalls offen: Dürfen Strecken unendlich teilbar sein, wenn Atome unteilbar sind?

Zeitleiste: Demokrit und seine Ideen

1. um 460 v. Chr. Geburt in Abdera (ungefähr).
2. um 370 v. Chr. Tod (ungefähr).
3. 4. Jh. v. Chr. Eudoxos beweist, dass Kegel und Pyramide ein Drittel von Zylinder und Prisma fassen.
4. um 300 v. Chr. Epikur übernimmt die Atomlehre für seine Philosophie.
5. 3. Jh. v. Chr. Archimedes würdigt Demokrit im Vorwort seiner Methode.
6. um 55 v. Chr. Lukrez beschreibt die Atomlehre im Lehrgedicht De rerum natura.
7. 1808 John Dalton begründet die Atomtheorie der Chemie.
8. 1906 Johan Ludvig Heiberg entdeckt die Archimedes-Handschrift mit der Methode wieder.

Bedeutung heute: Von Scheiben zum Integral

Die Atomlehre prägt unser Bild der Materie, auch wenn die Physik inzwischen viel weiter gegangen ist. Mathematisch lebt Demokrits Scheibengedanke in der Analysis fort: Wer ein Volumen als Summe unendlich dünner Scheiben auffasst, rechnet mit einem Integral. Für den Kegel lautet es

Wie man mit Körpern und ihren Volumen rechnet, steht im Lernbereich Geometrie. Einen Überblick über die Zeit bietet der Artikel griechische Mathematik.

Quellen und weiterführende Literatur

• Georg Rechenauer: Leukipp und Demokrit. In: Hellmut Flashar u. a. (Hrsg.): Frühgriechische Philosophie (Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike, Band 1), Halbband 2, Schwabe, Basel 2013, S. 833–946.
• Laura Gemelli Marciano (Hrsg.): Die Vorsokratiker, Band 3, Artemis & Winkler, Mannheim 2010.
• Thomas L. Heath (Hrsg.): The Method of Archimedes, Cambridge University Press, Cambridge 1912.
• MacTutor History of Mathematics: Democritus (englisch)
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Democritus (englisch)