Rotations­körper

Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine ebene Fläche um eine Gerade rotiert, die Drehachse. Töpferscheibe, Drechselbank und Drehmaschine arbeiten so: Aus einer Kurve wird beim Drehen ein Körper. Zylinder, Kegel und Kugel sind Rotationskörper, ebenso Vasen, Fässer, Kegelstümpfe und der Reifen eines Fahrrads.

Wie groß ist das Volumen? Mit dem Integral aus der Integralrechnung geht das für jede Form, die du als Graph einer Funktion beschreiben kannst. Nebenbei erhältst du die Formeln von Zylinder, Kegel und Kugel noch einmal als Spezialfälle. Zum Üben gibt es das Arbeitsblatt Rotationskörper.

Die Volumenformel aus Scheiben

Die Fläche unter dem Graphen von $f$ zwischen $a$ und $b$ dreht sich um die $x$-Achse. Schneidest du den Körper senkrecht zur Drehachse, ist jeder Schnitt ein Kreis. An der Stelle $x$ hat der Kreis den Radius $f(x)$.

Zerlege den Körper in dünne Scheiben der Dicke $\Delta x$. Jede Scheibe ist fast ein Zylinder mit dem Radius $f(x)$ und der Höhe $\Delta x$. Sein Volumen ist Grundfläche mal Höhe:

Das gesamte Volumen ist ungefähr die Summe aller Scheiben. Je dünner die Scheiben werden, desto genauer ist das Ergebnis. Im Grenzfall wird aus der Summe ein Integral, wie bei der Fläche unter einer Kurve. Mehr zu diesem Übergang steht bei den Summen in der Integralrechnung.

Das Vorgehen in vier Schritten:

1. Bestimme $f(x)$ und die Grenzen $a$ und $b$.
2. Quadriere $f(x)$ und fasse zusammen.
3. Finde eine Stammfunktion und setze die Grenzen ein.
4. Multipliziere mit $\pi$. Gib die Einheit an.

Zylinder, Kegel und Kugel

Die bekannten Körper entstehen aus einfachen Funktionen. Mit der Formel erhältst du ihre Volumina.

Das ist genau das Ergebnis, das Archimedes mit ganz anderen Mitteln fand. Eine Herleitung ohne Integral mit dem Prinzip von Cavalieri steht bei der Kugel.

Das Paraboloid

Dreht sich eine Parabel um ihre Symmetrieachse, entsteht ein Paraboloid. So sieht eine Schüssel mit parabelförmigem Querschnitt aus, etwa ein Parabolspiegel oder eine Satellitenschüssel.

Hohlkörper als Differenz

Hat der Körper innen einen Hohlraum, rotiert die Fläche zwischen zwei Graphen. Die äußere Funktion sei $f$, die innere $g$, mit $0\le g(x)\le f(x)$. Jede Scheibe ist dann ein Kreisring: Der große Kreis hat den Radius $f(x)$, der ausgeschnittene den Radius $g(x)$. Die Fläche des Rings ist $\pi {f(x)}^2-\pi {g(x)}^2$.

Rotation um die y-Achse

Dreht sich die Fläche um die $y$-Achse, vertauschen $x$ und $y$ ihre Rollen. Du schneidest den Körper dann waagerecht in Scheiben. Dafür brauchst du die Kurve als Funktion von $y$, also die Umkehrung $x=x(y)$. Die Grenzen sind dann $y$-Werte.

Die Mantelfläche

Auch die Oberfläche lässt sich mit einem Integral berechnen. Die Mantelfläche eines Rotationskörpers um die $x$-Achse ist

Die Formel kommt aus der Länge des Kurvenstücks und der Ableitung $f\prime$, die du von der Ableitung kennst. Für den Kegel mit $f(x)=\frac{r}{h}x$ ergibt sie $M=\pi r\sqrt{r^2+h^2}$, also $\pi rs$ mit der Mantellinie $s$. In der Schule wird sie meist nur genannt: Die Wurzel im Integral führt oft auf schwierige Integrale, die in den Integrationsmethoden behandelt werden.

Die Guldinsche Regel

Es geht auch ohne Integral, wenn du den Schwerpunkt der Fläche kennst. Die Guldinsche Regel sagt: Das Volumen ist der Flächeninhalt $A$ mal der Weg, den der Flächenschwerpunkt bei einer Umdrehung zurücklegt.

Anwendung: Fässer und Vasen

Viele Gefäße sind Rotationskörper. Ihr Inhalt lässt sich mit dem Integral berechnen, wenn du das Profil als Funktion beschreibst.

Johannes Kepler stellte 1615 eine Rechenregel für solche Körper auf, die Keplersche Fassregel. Sie braucht nur drei Querschnitte, den unteren $A_u$, den mittleren $A_m$ und den oberen $A_o$:

Für das Fass ist $A_u=A_o=\pi ·{\mathrm{0,3}}^2=\mathrm{0,09}\pi$ und $A_m=\pi ·{\mathrm{0,4}}^2=\mathrm{0,16}\pi$. Das ergibt $\frac{1}{6}·(\mathrm{0,09}\pi +\mathrm{0,64}\pi +\mathrm{0,09}\pi )\approx \mathrm{0,4294}$ m³, also rund 429 Liter. Die Abweichung vom Integral beträgt nur knapp ein Prozent. Heute kennt man dieselbe Rechnung als Simpson-Regel der numerischen Integration.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: von Archimedes bis Guldin

Volumen von runden Körpern zu bestimmen, gehört zu den ältesten Aufgaben der Geometrie. Archimedes fand im 3. Jahrhundert v. Chr. das Kugelvolumen, indem er die Kugel mit Zylinder und Kegel verglich. Im 4. Jahrhundert n. Chr. beschrieb Pappos von Alexandria Regeln, mit denen sich Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern aus dem Schwerpunkt berechnen lassen.

Johannes Kepler stellte 1615 in Linz seine Nova stereometria doliorum vinariorum („Neue Stereometrie der Weinfässer“) vor. Anlass war nach seinem eigenen Bericht der Weinkauf zu seiner zweiten Hochzeit 1613: Der Händler bestimmte den Inhalt aller Fässer mit einer Messrute nach derselben Methode, ganz gleich, wie ein Fass gebaut war. Kepler dachte sich die Körper aus unendlich vielen dünnen Teilen zusammengesetzt. Bonaventura Cavalieri baute das in seiner Methode der Unteilbaren aus, die 1635 erschien.

Der Jesuit Paul Guldin (1577–1643) veröffentlichte seine Schwerpunktregeln in dem Werk Centrobaryca, das zwischen 1635 und 1641 in Wien in vier Büchern erschien. Man nennt sie heute Guldinsche Regeln, obwohl sie schon bei Pappos stehen. Die allgemeine Formel mit dem Integral wurde erst mit der Analysis von Newton und Leibniz möglich. Ihre Geschichte erzählt die Geschichte der Integralrechnung.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Rotationskörper
• Wikipedia: Paul Guldin
• Wikipedia: Simpsonregel (mit dem Abschnitt zur Keplerschen Fassregel)
• Johannes Kepler: Nova stereometria doliorum vinariorum, Linz 1615.
• Paul Guldin: Centrobaryca seu de centro gravitatis trium specierum quantitatis continuae, Wien 1635–1641.