Abschnittsweise definierte Funktionen und Betragsfunktion

Eine abschnittsweise definierte Funktion hat nicht überall dieselbe Rechenvorschrift. Für einen Teil der Eingabewerte gilt eine Formel, für einen anderen Teil eine zweite. Das kennst du aus dem Alltag: Bei einem Handytarif ist bis zu einer Grenze alles gleich teuer, danach kostet jede weitere Einheit extra. Beim Porto springt der Preis an festen Gewichtsgrenzen. Und der Betrag einer Zahl, ihr Abstand von null, ist die einfachste abschnittsweise Funktion der Mathematik: Positive Zahlen bleiben, bei negativen verschwindet das Vorzeichen.

Diese Seite zeigt, wie du solche Funktionen aufschreibst, zeichnest und an den „Nahtstellen“ auf Stetigkeit prüfst. Danach folgen die Betragsfunktion, Gleichungen und Ungleichungen mit Betrag und Beispiele aus dem Alltag. Was eine Funktion überhaupt ist, steht auf der Seite Funktionen. Den Betrag in seiner einfachsten Form findest du bei den Gleichungen mit Absolutbeträgen.

Was ist eine abschnittsweise definierte Funktion?

Ein Beispiel mit ausgedachten Zahlen: Ein Handytarif kostet bis 5 GB Datenvolumen pauschal 10 €. Für jedes weitere Gigabyte kommen 2 € dazu. Die Kosten $K$ in Euro hängen vom Volumen $x$ in GB ab, hier bis 10 GB:

Für 3 GB zahlst du $K(3)=10$ €, für 8 GB zahlst du $K(8)=2·8=16$ €. Das passt zur Beschreibung, denn 10 € plus 3 weitere GB zu je 2 € sind ebenfalls 16 €. Der Graph besteht aus zwei Stücken, einem waagerechten und einem ansteigenden Stück.

Schreibweise mit Fallunterscheidung

Links steht der Funktionsname, rechts folgt eine große geschweifte Klammer. In jeder Zeile steht ein Term und dahinter die Bedingung, für welche $x$ er gilt. Drei Regeln sorgen dafür, dass die Funktion eindeutig ist:

• Die Bereiche überlappen sich nicht.
• Jeder Wert des Definitionsbereichs liegt in einem der Bereiche. Es bleibt keine Lücke.
• Ein Randpunkt wird genau einer Zeile zugeordnet: In der einen Zeile steht $\le$ oder $\ge$, in der Nachbarzeile $<$ oder $>$.

Den Graphen zeichnen

Du zeichnest jedes Stück für sich, nur im zugehörigen Bereich:

1. Markiere die Nahtstellen auf der $x$-Achse.
2. Zeichne das Stück links der ersten Nahtstelle, dann das nächste und so weiter. Dazu helfen eine Wertetabelle oder die bekannten Graphen, etwa die Gerade aus den linearen Funktionen oder die Parabel aus den quadratischen Funktionen.
3. Setze an jedem Ende eines Stücks einen gefüllten Punkt, wenn der Randpunkt zum Stück gehört, und einen offenen Kreis, wenn nicht.
4. Kontrolle: Über keinem $x$-Wert dürfen zwei gefüllte Punkte stehen.

Besonders deutlich wird der Unterschied bei einer Treppenfunktion. Sie ist in jedem Bereich konstant und springt an den Nahtstellen.

Stetigkeit an der Nahtstelle

Anschaulich ist eine Funktion stetig, wenn du ihren Graphen in einem Zug zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen. Bei einer abschnittsweise definierten Funktion kann das nur an den Nahtstellen schiefgehen, denn die einzelnen Stücke sind meist Geraden, Parabeln oder ähnliche Terme, die im Inneren ihres Bereichs stetig sind. Für eine Nahtstelle $a$ müssen drei Dinge übereinstimmen:

Links vom Punkt $a$ nähert sich $f$ einem Wert, rechts ebenfalls, und beide Werte sind gleich dem Funktionswert $f(a)$. Praktisch setzt du $a$ in den linken und in den rechten Term ein und vergleichst die beiden Ergebnisse. Mehr zu Grenzwerten von Funktionen steht im Ausblick bei den Folgen.

Stetig heißt nicht glatt. An einem Knick hat der Graph keine eindeutige Tangente, die Funktion ist dort nicht differenzierbar. Das passiert gleich bei der Betragsfunktion. Wie die Ableitung definiert ist, steht bei der Ableitung.

Die Betragsfunktion

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von null. Als Funktion ist er abschnittsweise definiert:

Für negative $x$ ist $-x$ positiv: $|-4|=-(-4)=4$. Darum ist der Betrag nie negativ, und der Graph ist ein V mit der Spitze im Ursprung. Zu den Betragsstrichen gehören ein paar Rechenregeln. Mehr zur Zahl $|x|$ steht bei den Zahlen.

• $|x|\ge 0$, und $|x|=0$ genau dann, wenn $x=0$.
• $|-x|=|x|$. Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, wie bei den Funktionsgraphen erklärt.
• $|a·b|=|a|·|b|$.
• $|a+b|\le |a|+|b|$ (Dreiecksungleichung). Beispiel: $|3+(-5)|=2\le 3+5=8$.
• $|a-b|$ ist der Abstand der Zahlen $a$ und $b$ auf dem Zahlenstrahl: $|3-7|=4$.

Die Betragsfunktion ist bei 0 stetig, hat dort aber einen Knick: Links von 0 hat der Graph die Steigung $-1$, rechts die Steigung $1$. Deshalb ist sie bei 0 nicht differenzierbar.

Betragsfunktion verschieben, strecken und spiegeln

Wie bei der Parabel kannst du den Graphen verschieben und strecken. Die allgemeine Form ist

Die Spitze liegt im Punkt $(b|c)$. Der Faktor $a$ streckt oder staucht den Graphen: Für $|a|>1$ wird das V steiler, für $|a|<1$ flacher. Ist $a$ negativ, wird der Graph an der Waagerechten durch die Spitze gespiegelt, aus dem V wird ein Dach.

Gleichungen mit Betrag lösen

Bei $|x-3|=5$ fragst du nach den Zahlen mit Abstand 5 von der 3, das ist auf der Seite Gleichungen erklärt. Steht rechts ein Term mit $x$, brauchst du die Fallunterscheidung:

1. Bestimme die Nullstelle des Inneren der Betragsstriche. Sie teilt die Zahlengerade in zwei Fälle.
2. Fall 1: Das Innere ist $\ge 0$. Die Betragsstriche entfallen.
3. Fall 2: Das Innere ist $<0$. Die Betragsstriche werden durch eine Klammer mit Minuszeichen davor ersetzt.
4. Löse beide Gleichungen. Eine Lösung zählt nur, wenn sie zur Bedingung ihres Falls passt.
5. Mache die Probe in der Ausgangsgleichung.

Ein Betrag ist nie negativ. Darum hat $|x-3|=-2$ keine Lösung, es ist $L=\{\}$. Rechts darf bei einer Betragsgleichung also nichts Negatives stehen. Steht dort ein Term mit $x$, prüft die Probe, ob er bei der gefundenen Lösung nicht negativ wird.

Ungleichungen mit Betrag

Auch hier hilft das Abstandsbild. Die Ungleichung $|x-2|<3$ fragt nach allen Zahlen, die von 2 weniger als 3 entfernt sind.

Für $|x-2|<3$ ergibt das $-1<x<5$. Für $|x-2|\ge 3$ ergibt es $x\le -1$ oder $x\ge 5$. Die Lösung einer Ungleichung mit Betrag besteht also aus einem Intervall oder aus zwei Strahlen. Mehr zu Intervallen steht bei den Betragsungleichungen.

Abschnittsweise Funktionen im Alltag

Viele Preise und Gebühren sind abschnittsweise definiert. Zwei Typen unterscheidest du:

• Stetige Tarife wie der Handytarif am Anfang: Der Preis wächst weiter, aber ohne Sprung. Die Nahtstelle ist nur ein Knick.
• Staffelpreise wie beim Versand: Der Preis springt an den Grenzen. Die Funktion ist dort unstetig.

Ein dritter Fall ist die Einkommensteuer. Sie ist progressiv: Je höher das Einkommen, desto höher der Steuersatz auf den Teil, der über einer Grenze liegt. Der echte deutsche Tarif ist ebenfalls abschnittsweise definiert, seine Grenzen ändern sich fast jedes Jahr. Das folgende Modell ist deshalb frei erfunden.

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: Betrag und Stetigkeit

Der Betrag einer komplexen Zahl bekam 1806 durch den Schweizer Amateurmathematiker Jean-Robert Argand einen Namen: Er nannte ihn „module“. Die heutige Schreibweise mit zwei senkrechten Strichen führte nach verbreiteter Darstellung Karl Weierstraß 1841 ein.

Die Frage, was es heißt, dass eine Funktion keine Lücken oder Sprünge hat, wurde im frühen 19. Jahrhundert streng beantwortet. Eine Form der heutigen Definition mit $\epsilon$ und $\delta$ gab erstmals 1817 Bernard Bolzano an. Augustin-Louis Cauchy erklärte Stetigkeit 1821 in seinem Cours d’analyse mit unendlich kleinen Änderungen, Weierstraß fasste sie später streng in Epsilon-Delta-Form. Dass auch stetige Funktionen verblüffen können, zeigte Weierstraß am 18. Juli 1872 vor der Berliner Akademie: Seine Funktion ist überall stetig und hat nirgends eine Tangente, sie knickt gewissermaßen überall wie die Betragsfunktion bei 0.

Häufige Fragen

Wie schreibe ich eine abschnittsweise Funktion richtig auf?

Mit einer großen geschweiften Klammer, in jeder Zeile ein Term und dahinter die Bedingung für $x$. Die Bereiche dürfen sich nicht überlappen und müssen den ganzen Definitionsbereich abdecken. Jeder Randpunkt gehört zu genau einer Zeile.

Was ist der Unterschied zwischen stetig und differenzierbar?

Stetig bedeutet: keine Lücke und kein Sprung im Graphen. Differenzierbar bedeutet zusätzlich: Es gibt eine eindeutige Tangente, also keinen Knick. Jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht umgekehrt. Die Betragsfunktion ist bei 0 stetig und nicht differenzierbar.

Muss ich bei jeder Betragsgleichung Fälle unterscheiden?

Nicht immer. Bei $|x-3|=5$ genügt es, $x-3=5$ oder $x-3=-5$ zu lösen. Steht rechts ein Term mit $x$, ist die Fallunterscheidung am Inneren des Betrags der sichere Weg, danach folgt die Probe.

Warum hat $|x|=-2$ keine Lösung?

Weil der Betrag ein Abstand ist und Abstände nicht negativ sind. Auch der Graph zeigt es: Das V liegt oberhalb der $x$-Achse oder auf ihr und trifft die Gerade $y=-2$ nie.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Betragsfunktion
• Wikipedia: Stetigkeit
• Wikipedia: Absolute value (englisch)
• Bernard Bolzano: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege, Prag 1817.
• Augustin-Louis Cauchy: Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique, Paris 1821.