Ungleichungen

Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit einem der Zeichen <, >, ≤ oder ≥. Eine Gleichung wie x + 3 = 8 hat genau eine Lösung. Bei x + 3 > 8 ist die Lösung dagegen ein ganzer Bereich, nämlich alle Zahlen, die größer als 5 sind. Im Alltag beschreiben Ungleichungen Grenzen: Ein Aufzug trägt höchstens 450 kg, und für den Ausflug brauchst du mindestens 20 €.

Das Lösen funktioniert fast wie bei Gleichungen: Du formst um und isolierst x. Nur eine Regel ist neu und wichtig: Multiplizierst oder teilst du mit einer negativen Zahl, dreht sich das Zeichen um. Hier gehst du vom Zahlenstrahl bis zu Flächen in der Ebene, Beträgen und quadratischen Ungleichungen.

Ungleichungen und der Zahlenstrahl

Die fünf Vergleichszeichen liest du so. Eine Merkhilfe: Die Spitze des Zeichens zeigt auf die kleinere Zahl.

Auf dem Zahlenstrahl markierst du die Lösungen als Bereich. Gehört der Randwert nicht dazu (bei < und >), zeichnest du einen offenen Kreis. Gehört er dazu (bei ≤ und ≥), zeichnest du einen ausgefüllten Punkt. Ein Pfeil zeigt, dass der Bereich unendlich weit weitergeht.

Intervall- und Mengenschreibweise

Kürzer schreibst du die Lösung als Intervall. Eine runde Klammer bedeutet: Der Randwert gehört nicht dazu. Eine eckige Klammer bedeutet: Er gehört dazu. Bei ∞ steht immer eine runde Klammer, denn unendlich ist keine Zahl. In manchen Büchern steht ]a; b[ statt (a; b).

Rechenoperationen mit Ungleichungen

Eine Ungleichung ist wie eine Waage, die schief hängt. Ob sie nach einer Umformung noch in dieselbe Richtung zeigt, hängt von der Rechenart ab. Die Tabelle zeigt es an 2 < 5.

Einzelschritt-Ungleichungen mit Addition oder Subtraktion

Wie bei Gleichungen ziehst du auf beiden Seiten dieselbe Zahl ab oder addierst sie. Das Zeichen bleibt. Als Probe prüfst du den Randwert, bei dem beide Seiten gleich sind, und einen Testwert aus dem Lösungsbereich.

Einzelschritt-Ungleichungen mit Multiplikation

Steht x durch eine Zahl geteilt, multiplizierst du beide Seiten mit dieser Zahl. Ist sie positiv, bleibt das Zeichen. Ist sie negativ, dreht es sich um.

Einzelschritt-Ungleichungen mit Division

Steht x mit einer Vorzahl im Produkt, teilst du durch diese Zahl. Wieder gilt: Bei einer negativen Zahl dreht sich das Zeichen um.

Allgemeines Lösen von Ungleichungen

Bei längeren Ungleichungen gehst du vor wie bei Gleichungen: Klammern auflösen, zusammenfassen, x-Terme auf eine Seite, Zahlen auf die andere, am Ende durch die Vorzahl teilen. Achte nur im letzten Schritt auf das Vorzeichen der Vorzahl. Ein Trick: Bringe die x-Terme dorthin, wo die größere Vorzahl steht. Dann musst du nie durch eine negative Zahl teilen.

Fällt x beim Umformen weg, entscheidet die Restaussage. Aus x + 5 > x + 8 wird 5 > 8, das ist falsch: keine Lösung. Aus 2x + 1 < 2x + 3 wird 1 < 3, das ist wahr: alle Zahlen sind Lösungen. Die Lösungsmenge hängt auch von der Grundmenge ab: Für x < 4 sind es unter den positiven ganzen Zahlen nur 1, 2 und 3.

Zusammengesetzte (mehrteilige) Ungleichungen

Eine mehrteilige Ungleichung wie −3 < 2x + 1 ≤ 9 sagt zwei Dinge zugleich: Der Term 2x + 1 ist größer als −3 und höchstens 9. Du formst alle drei Teile gleichzeitig um. Mit einer negativen Zahl drehen sich beide Zeichen um. Bei „und“ gilt beides zugleich, bei „oder“ genügt eine Bedingung: x < −1 oder x ≥ 3 sind zwei getrennte Strahlen.

Grafische Darstellung linearer Ungleichungen

Mit zwei Unbekannten ist die Lösung kein Strahl, sondern eine Fläche. Jede lineare Ungleichung wie 2x − y < 4 teilt die Ebene durch eine Gerade in zwei Hälften, die Halbebenen. Eine davon ist die Lösungsmenge.

Systeme linearer Ungleichungen

Mehrere Ungleichungen zusammen bilden ein System. Die Lösungsmenge ist der Durchschnitt aller Halbebenen, also die Fläche, in der alle Bedingungen gleichzeitig gelten. Bei linearen Gleichungssystemen suchst du Schnittpunkte, hier legst du Flächen übereinander.

Ungleichungen mit Beträgen

Der Betrag |x − a| ist der Abstand von x zu a. Die Ungleichung |x − 1| < 4 fragt deshalb: Welche Zahlen haben von 1 einen Abstand kleiner als 4? Das sind alle Zahlen zwischen −3 und 5. Bei |x − 1| ≥ 4 sind es die Zahlen mit Abstand mindestens 4, also die Bereiche außen.

Quadratische Ungleichungen lösen

Kommt x² vor, hilft die Parabel. Bringe alles auf eine Seite, sodass rechts 0 steht. Bestimme die Nullstellen durch Faktorisieren oder mit der Mitternachtsformel. Skizziere die Parabel (nach oben geöffnet, wenn vor x² eine positive Zahl steht) und lies ab, wo sie über der x-Achse (größer als 0) oder darunter (kleiner als 0) liegt.

Geschichte: Harriot und die Zeichen < und >

Ungleichungen sind viel älter als ihre Zeichen. Die Griechen verglichen schon Strecken, aber sie schrieben alles in Worten, und auch später standen „kleiner“ und „größer“ als Wort oder Abkürzung im Text. Die Zeichen < und > erscheinen erstmals in der Artis analyticae praxis des Engländers Thomas Harriot (um 1560–1621). Das Buch wurde 1631 gedruckt, zehn Jahre nach seinem Tod. Ob die Zeichen von Harriot selbst oder von den Herausgebern stammen, ist unsicher. Das Gleichheitszeichen war damals erst 74 Jahre alt (Geschichte des Gleichheitszeichens). Wie die neue Formelsprache entstand, steht in der Mathematik des 17. Jahrhunderts.

Die Zeichen ≤ und ≥ kamen später. John Wallis schrieb 1670 ähnliche Zeichen mit einem Strich darüber, Pierre Bouguer setzte 1734 den Strich unter das Zeichen, so wie wir es heute kennen.

Wie du eine einzelne Unbekannte bestimmst, übst du bei Gleichungen lösen. Die Nullstellen für quadratische Ungleichungen findest du bei den quadratischen Gleichungen, und Parabeln begegnen dir wieder bei den Funktionen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Florian Cajori: A History of Mathematical Notations, Open Court, Chicago 1928–1929.
• Thomas L. Heath: The Thirteen Books of Euclid’s Elements, Cambridge University Press, Cambridge 1908.
• Earliest Uses of Symbols of Relation (englisch, MacTutor History of Mathematics)
• MacTutor History of Mathematics: Thomas Harriot (englisch)