Adrien-Marie Legendre

Adrien-Marie Legendre (1752–1833) war ein französischer Mathematiker, der in der Zahlentheorie, der Analysis und der Geometrie Bleibendes leistete. Er lebte fast sein ganzes Leben in Paris und erlebte dort die Revolution, Napoleon und die Rückkehr der Könige. Berühmt wurde er durch die Methode der kleinsten Quadrate, das nach ihm benannte Legendre-Symbol und seine Theorie der elliptischen Integrale. Sein Geometrie-Lehrbuch wurde in viele Sprachen übersetzt und galt rund hundert Jahre als Standardwerk.

Seine Nachwelt hat eine kuriose Seite: Das Porträt, das über ein Jahrhundert lang als sein Bild gezeigt wurde, stellt in Wahrheit einen Politiker der Französischen Revolution dar.

Leben und Beruf in Paris

Legendre wurde am 18. September 1752 geboren, nach den meisten Quellen in Paris. Am Collège Mazarin verteidigte er 1770, mit 18 Jahren, eine Abschlussarbeit in Mathematik und Physik. Von 1775 bis 1780 unterrichtete er an der Pariser École Militaire und lebte sonst bis zur Revolution überwiegend als Privatgelehrter. 1782 gewann er einen Preis der Berliner Akademie für die Berechnung von Geschossbahnen unter Luftwiderstand, 1785 wurde er Mitglied der Pariser Académie des sciences. 1787 verband er mit Pierre Méchain und Jean-Dominique Cassini die Sternwarten von Paris und Greenwich durch ein Dreiecksnetz.

Die Revolution kostete ihn sein kleines Vermögen. 1793 heiratete er Marguerite-Claudine Cohin. Er lehrte ab 1795 an der École normale, folgte 1812 Joseph-Louis Lagrange im Bureau des Longitudes und 1816 Pierre-Simon Laplace als Prüfer an der École polytechnique. 1824 verweigerte er die Zustimmung zum Regierungskandidaten für das Institut de France, worauf man ihm die Pension strich. Er starb 1833 in bescheidenen Verhältnissen.

Die Methode der kleinsten Quadrate

Wer misst, bekommt nie ganz genaue Zahlen. Fünf Messpunkte liegen meist nicht auf einer Geraden, obwohl der Zusammenhang gerade verläuft. Welche Gerade ist dann die beste? Legendre schlug vor, den senkrechten Abstand jedes Punktes von der Geraden zu quadrieren und alle Quadrate zu addieren. Die beste Gerade ist diejenige, bei der diese Summe am kleinsten ist.

Warum Quadrate? Positive und negative Abweichungen heben sich so nicht auf, und große Ausreißer zählen stärker als kleine Fehler. Für eine Gerade y = m·x + c lautet die Bedingung:

Legendre veröffentlichte das Verfahren 1805 im Anhang seiner Schrift Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes. Vier Jahre später erklärte Carl Friedrich Gauß in seiner Theoria motus, er benutze die Methode schon seit 1795. Daraus wurde ein Prioritätsstreit, den Legendre hartnäckig führte. Sachlich gilt: Legendre hat zuerst gedruckt, Gauß hat die Methode tiefer begründet, nämlich mit der Normalverteilung der Messfehler. Auch der Amerikaner Robert Adrain veröffentlichte sie 1808 unabhängig. Wie man mit Messreihen umgeht, zeigt die Lernseite Statistik.

Zahlentheorie: Das Legendre-Symbol

Für eine Primzahl p und eine Zahl a fragt man: Gibt es eine Zahl, deren Quadrat bei Division durch p denselben Rest lässt wie a? Das Legendre-Symbol (a/p) antwortet mit +1 („ja“) oder −1 („nein“); ist a durch p teilbar, steht 0. Legendre verwendete es in seinem Essai sur la théorie des nombres (1798), der den Stand der Zahlentheorie zusammenfasste.

Legendre bemerkte, dass die Antworten für zwei Primzahlen p und q zusammenhängen. Dieses quadratische Reziprozitätsgesetz formulierte er 1785. Seine Beweisversuche hatten jedoch eine Lücke: Sie setzten voraus, dass in Zahlenfolgen wie 3, 7, 11, 15, … unendlich viele Primzahlen vorkommen, was erst 1837 Peter Gustav Lejeune Dirichlet bewies. Den ersten lückenlosen Beweis fand Gauß 1796.

Für p = 3 und q = 7 ist (3/7) = −1 und (7/3) = (1/3) = +1. Das Produkt −1 passt zum ungeraden Exponenten 1 · 3 = 3. 1825 bewiesen Dirichlet und Legendre, jeder mit eigenem Beitrag, dass x⁵ + y⁵ = z⁵ keine Lösung in positiven ganzen Zahlen hat, ein Teilerfolg beim Großen Fermatschen Satz.

Eine frühe Vermutung über Primzahlen

Legendre fragte sich auch, wie viele Primzahlen es bis zu einer Grenze x gibt. In der Auflage seines Werks von 1808 schätzte er ihre Anzahl auf x : (ln x − 1,08366), wobei ln der natürliche Logarithmus ist.

Die Näherung ist erstaunlich gut. Bewiesen wurde der Primzahlsatz, die genaue Aussage über die Verteilung der Primzahlen, erst 1896 von Jacques Hadamard und Charles-Jean de la Vallée Poussin.

Elliptische Integrale und das Geometrie-Lehrbuch

Die Länge einer Ellipse führt auf ein Integral, das sich nicht mit den bekannten Funktionen ausdrücken lässt. Solche elliptischen Integrale untersuchte Legendre rund vierzig Jahre lang. Er ordnete sie in drei Grundtypen, stellte Zahlentafeln auf und fasste alles im Traité des fonctions elliptiques (1825–1830) zusammen. Kurz darauf drehten Niels Henrik Abel und Carl Gustav Jacob Jacobi die Blickrichtung um und untersuchten ab 1827 die Umkehrfunktionen, die elliptischen Funktionen. Legendre begrüßte das großzügig, schrieb Jacobi und fügte einen dritten Band hinzu.

Breite Wirkung hatten die Éléments de géométrie (1794). Legendre ordnete darin den Stoff von Euklid neu und vereinfachte viele Beweise. Dass π irrational ist, hatte schon Johann Heinrich Lambert gezeigt; Legendre bewies als Erster, dass sogar π² irrational ist. Mehr als dreißig Jahre versuchte er vergeblich, das Parallelenpostulat aus den anderen Axiomen herzuleiten.

Das falsche Porträt

Wer bis vor wenigen Jahren nach Bildern von Adrien-Marie Legendre suchte, fand überall dasselbe Porträt. Es ist ein Steindruck aus der Sammlung Iconographie des contemporains (Paris 1833), trägt nur den Namen „Legendre“ und zeigt den Pariser Fleischer Louis Legendre. Der wurde in der Revolution Abgeordneter im Nationalkonvent und starb 1797. Mit dem Mathematiker war er nicht verwandt; der schrieb seinen Namen „Le Gendre“.

Der Fehler fiel 2005 auf, als zwei Studierende in Straßburg im Internet dasselbe Bild bei zwei verschiedenen Männern entdeckten. Ein echtes Bild fand man 2008 in der Bibliothek des Institut de France: ein Album mit 73 Karikaturen von Institutsmitgliedern, die Julien-Léopold Boilly 1820 als Aquarelle zeichnete. Auf einem Blatt stehen die Köpfe von Legendre und Joseph Fourier nebeneinander, mit Namen darunter. Nach heutigem Kenntnisstand ist das die einzige authentische Darstellung Legendres; sie illustriert diese Seite.

Der Mathematiker Peter Duren erklärte 2009, warum der Irrtum so lange unbemerkt blieb: Als das falsche Bild in Umlauf kam, lebte niemand mehr, der Legendre gekannt hatte, und Fotografien gab es erst ab etwa 1840. Legendre selbst mochte persönliche Aufmerksamkeit nicht; bei der Trauerfeier berichtete Siméon Denis Poisson, er habe sich gewünscht, dass man nur über seine Werke spreche.

Zeitleiste: Adrien-Marie Legendres Leben

1. 1752 Geburt am 18. September in Paris
2. 1775–1780 Lehrer an der École Militaire
3. 1785 Mitglied der Académie des sciences
4. 1794 Éléments de géométrie
5. 1798 Essai sur la théorie des nombres
6. 1805 Veröffentlichung der Methode der kleinsten Quadrate
7. 1824 Streichung der Pension
8. 1833 Tod am 9. Januar in Paris

Bedeutung heute

• Daten auswerten: Die Methode der kleinsten Quadrate steckt in jeder Ausgleichsgeraden, die ein Tabellenprogramm zeichnet, und in der Satellitennavigation.
• Informatik: Quadratische Reste und das Reziprozitätsgesetz sind Bausteine von Primzahltests und Kryptografie.
• Physik: Legendre-Polynome und die daraus gebauten Kugelfunktionen beschreiben Schwerefelder, elektrische Felder und Atomorbitale.

Legendre steht oft im Schatten von Gauß, Abel und Jacobi, denn seine Arbeiten waren häufig die Vorarbeit, auf der andere die vollständigen Lösungen bauten. Seinen Platz zeigt die Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Wann lebte Adrien-Marie Legendre?

Er wurde am 18. September 1752 in Paris geboren und starb dort am 9. Januar 1833.

Wie sah Legendre aus?

Das einzige bekannte authentische Bild ist eine Karikatur von Julien-Léopold Boilly aus dem Jahr 1820. Das früher übliche Porträt zeigt Louis Legendre.

Quellen und weiterführende Literatur

• Peter Duren: Changing Faces: The Mistaken Portrait of Legendre. In: Notices of the American Mathematical Society 56 (11), 2009, S. 1440–1443.
• Stephen M. Stigler: The History of Statistics. The Measurement of Uncertainty before 1900. Harvard University Press, Cambridge (Mass.) 1986.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 2, Springer, Berlin 2009.
• MacTutor History of Mathematics: Adrien-Marie Legendre (englisch)