Carl Gustav Jacob Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851) war ein deutscher Mathematiker, der als Professor in Königsberg und später in Berlin gleich mehrere Gebiete voranbrachte. Sein bekanntestes Werk ist die Theorie der elliptischen Funktionen, die er 1829 in einem Hauptwerk zusammenfasste. Nach ihm benannt sind außerdem die Jacobi-Matrix, die Jacobi-Identität, das Jacobi-Symbol und die Hamilton-Jacobi-Gleichung der Mechanik.

Jacobi war auch ein außergewöhnlicher Lehrer. Er verlangte von seinen Studierenden nicht nur das Zuhören, sondern eigene Forschung. In Königsberg gründete er dafür ein Seminar, das als Vorbild für viele deutsche Universitäten galt. Er starb mit nur 46 Jahren an den Pocken.

Jugend in Potsdam: ein Wunderkind muss warten

Jacobi wurde am 10. Dezember 1804 in Potsdam als Sohn des jüdischen Bankiers Simon Jacobi geboren und hieß zunächst Jacques Simon. Auf dem Potsdamer Gymnasium war er seinen Mitschülern weit voraus. Schon mit 13 Jahren hätte er studieren können, doch die Berliner Universität nahm erst 16-Jährige auf. So blieb er mehrere Jahre in derselben Klasse und bildete sich selbst weiter.

1821 begann er in Berlin zu studieren. Er ließ sich evangelisch taufen und nahm den Namen Carl Gustav Jacob an, was für eine Hochschullaufbahn damals für Menschen jüdischer Herkunft fast unumgänglich war. 1825 promovierte er, kurz darauf habilitierte er sich in Berlin. Damit durfte er als Dozent lehren.

Königsberg: Forschung und das Seminar

Im Mai 1826 zog Jacobi nach Königsberg in Ostpreußen, dem heutigen Kaliningrad. Dort arbeiteten schon der Astronom Friedrich Wilhelm Bessel und der Physiker Franz Neumann. 1827 wurde Jacobi außerordentlicher, später ordentlicher Professor.

1834 gründete er gemeinsam mit Neumann das mathematisch-physikalische Seminar. Studierende sollten dort nicht nur Vorlesungen hören, sondern Aufgaben selbst bearbeiten und ihre Ergebnisse vortragen. Jacobi sprach in seinen Vorlesungen oft über seine eigenen neuesten Ideen. Zu seinen Schülern zählten Carl Wilhelm Borchardt und Otto Hesse, nach dem die Hesse-Matrix benannt ist. Dieses Modell, Lehre und Forschung zu verbinden, setzte sich später in ganz Deutschland durch.

Elliptische Funktionen: das Umkehren als Trick

Ein Pendel, das sich nicht in Formeln fassen lässt

Für kleine Ausschläge schwingt ein Pendel der Länge L nach der einfachen Formel T = 2π√(L/g). Das gilt aber nur näherungsweise. Die genaue Schwingungsdauer führt auf ein elliptisches Integral:

Dabei ist k = sin(θ₀/2) und θ₀ der größte Ausschlagwinkel. Für θ₀ = 90° ist k ≈ 0,707 und K ≈ 1,854. Das Pendel braucht dann 4 · 1,854 ≈ 7,42 Einheiten von √(L/g) statt 2π ≈ 6,28, also rund 18 Prozent länger. Solche Integrale tauchen auch beim Umfang einer Ellipse auf, daher der Name. Man kann sie nicht mit den bekannten Funktionen wie Sinus oder Logarithmus ausdrücken.

Jacobis Idee: Umkehrfunktionen

Der Arkussinus lässt sich als Integral schreiben, und seine Umkehrung ist der vertraute Sinus mit seiner einen Periode von 2π:

Ähnlich kehrte Jacobi (unabhängig davon auch Abel) das elliptische Integral um. Er erhielt neue Funktionen, die er sn, cn und dn nannte. Sie wiederholen sich in zwei Richtungen der komplexen Zahlenebene, haben also zwei unabhängige Perioden. Auf diesem Gebiet konkurrierte er mit Abel. Als Jacobi 1827 seine ersten Ergebnisse an Adrien-Marie Legendre schickte, der ein Leben lang an diesen Integralen gearbeitet hatte, antwortete dieser begeistert. Sein Hauptwerk Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum erschien 1829, im Todesjahr Abels.

Die Jacobi-Matrix: Flächen und Volumina umrechnen

In einer Abhandlung von 1841 machte Jacobi die Funktionaldeterminante zu einem festen Werkzeug. Heute beginnt man meist mit der Jacobi-Matrix, einer Matrix, die alle Ableitungen einer Abbildung enthält. Sie sagt, wie sich ein kleines Stück Fläche oder Raum bei einem Koordinatenwechsel streckt oder staucht. Ein Standardbeispiel sind Polarkoordinaten x = r cos φ, y = r sin φ:

Die Determinante ist also einfach r. Das erklärt, warum man bei Polarkoordinaten das Flächenelement dA = r · dr · dφ verwendet. Weit vom Ursprung entfernt wird ein Winkelstück breiter, deshalb der Faktor r. Damit lässt sich zum Beispiel die Kreisfläche mit Radius R als Integral berechnen: Zweimal integrieren ergibt ∫₀^2π ∫₀^R r dr dφ = πR².

Mechanik, Zahlentheorie, Algebra: weitere Spuren

• Mechanik: Jacobi verallgemeinerte die Ideen von William Rowan Hamilton zu einer Methode, Bewegungsgleichungen durch eine einzige Differentialgleichung zu lösen. Sie heißt heute Hamilton-Jacobi-Gleichung und spielt in der Himmelsmechanik und in der Quantenphysik eine Rolle.
• Algebra: Die Jacobi-Identität [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0 ist eine Grundregel der Lie-Algebren, die in der Physik Symmetrien beschreiben.
• Zahlentheorie: Das Jacobi-Symbol erweitert das Legendre-Symbol und ist ein schnelles Hilfsmittel bei Primzahltests. Mit Gauß tauschte er sich über höhere Reste aus.

„Das einzige Ziel der Wissenschaft ist die Ehre des menschlichen Geistes, und unter diesem Gesichtspunkt ist eine Frage der Zahlen ebenso viel wert wie eine Frage des Weltsystems.“

Jacobi widersprach hier Joseph Fourier, der als Hauptzweck der Mathematik den Nutzen für die Allgemeinheit und die Erklärung der Natur gesehen hatte.

Berlin und die letzten Jahre

1843 erkrankte Jacobi an Diabetes und musste die Vorlesungen aufgeben. Mit Unterstützung des preußischen Staates reiste er nach Italien und war im November 1843 in Rom. 1844 übersiedelte er nach Berlin und wurde Mitglied der Akademie der Wissenschaften. Im Revolutionsjahr 1848 vertrat er liberale Ansichten, was ihm bei der Regierung schadete. Ein Zuschuss zu seinem Gehalt wurde gestrichen, seine Familie zog zeitweise nach Gotha. Im Januar 1851 erkrankte er an Grippe, dann an den Pocken. Er starb am 18. Februar 1851 in Berlin. Seine gesammelten Werke gab später Karl Weierstraß heraus.

Zeitleiste: Carl Gustav Jacob Jacobis Leben

1. 1804 Geburt am 10. Dezember in Potsdam
2. 1821 Studienbeginn in Berlin
3. 1825 Promotion in Berlin
4. 1826 Wechsel nach Königsberg
5. 1827 Erste Ergebnisse zu elliptischen Funktionen an Legendre
6. 1829 Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum
7. 1834 Mathematisch-physikalisches Seminar in Königsberg
8. 1841 Abhandlung über Funktionaldeterminanten
9. 1844 Umzug nach Berlin
10. 1851 Tod am 18. Februar in Berlin

Bedeutung heute

Die Jacobi-Matrix gehört zum Stoff jeder Analysis-Vorlesung. In der Analysis braucht man sie beim Koordinatenwechsel in Integralen, in der Robotik zur Steuerung von Roboterarmen und in der Informatik beim Training neuronaler Netze. Elliptische Funktionen sind eng mit elliptischen Kurven verwandt, die heute Internetverbindungen schützen und im Beweis von Andrew Wiles zum Großen Fermatschen Satz eine zentrale Rolle spielen. Mehr zur Epoche im Artikel zur Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Wann lebte Carl Gustav Jacob Jacobi?

Jacobi wurde am 10. Dezember 1804 in Potsdam geboren und starb am 18. Februar 1851 in Berlin an den Pocken.

Was ist die Jacobi-Matrix?

Die Jacobi-Matrix enthält alle ersten Ableitungen einer Abbildung mehrerer Veränderlicher. Ihre Determinante gibt an, wie stark ein kleines Flächen- oder Raumstück bei der Abbildung vergrößert oder verkleinert wird.

Warum war das Königsberger Seminar wichtig?

Jacobi und Franz Neumann ließen dort Studierende selbst forschen und vortragen. Dieser Gedanke, Lehre und Forschung zu verbinden, wurde zum Vorbild für viele deutsche Universitäten.

Quellen und weiterführende Literatur

• Leo Koenigsberger: Carl Gustav Jacob Jacobi. Festschrift zur Feier der hundertsten Wiederkehr seines Geburtstages, Teubner, Leipzig 1904.
• Karl Weierstraß (Hrsg.): C. G. J. Jacobi’s Gesammelte Werke, Reimer, Berlin 1881–1891.
• MacTutor History of Mathematics: Carl Gustav Jacob Jacobi (englisch)
• Wikipedia: Carl Gustav Jacob Jacobi (deutsch)